Ejercicios de Mecánica cuántica Probar que si ψt(x) = c·αk(x),
donde |c|² = 1 , la medida de  en el instante t da ciertamente
el valor Ak.
Probar que, si la medida de  en el instante t da ciertamente
el valor Ak , entonces se cumplirá ψt(x)
= c·αk(x), donde |c|² = 1
Respuesta del ejercicio 5
Sabemos que, en general, la medida de un observable Â, actuando
sobre un estado ψ t(x, t) se obtiene por la expresión
:
\(\displaystyle \left \langle\psi_t(x), \hat{A}\psi_t(x)\right\rangle
= \left\langle\sum_i^\infty (\alpha_i,\psi_t)\alpha_i(x)\; ,
\; \hat{A}\left[\sum_j^\infty (\alpha_j,\psi_t)\alpha_j(x)\right]\right\rangle
\)
pero en nuestro caso tenemos ψ t(x) = c·α k(x)
, por lo que resulta :
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\langle\psi_t(x), \hat{A}\psi_t(x)\rangle =\langle c·\alpha_k(x), \hat{A}[c·\alpha_k(x)]\rangle = \\
\\
\langle c·\alpha_k(x) , c \hat{A}[\alpha_k(x)]\rangle = \langle c·\alpha_k(x), c·A_k\alpha_k(x)\rangle =\\
\\
= |c|^2A_k\langle \alpha_k(x), \alpha_k(x)\rangle = |c|^2A_k
\end{array} \)
Y la medida de  en el instante t da ciertamente el valor A k.
Consideremos ahora el proceso inverso. Tenemos :
\(\displaystyle \langle\psi_t(x), \hat{A}\psi_t(x)\rangle =\left
\langle\sum_i^\infty (\alpha_i,\psi_t)\alpha_i(x)\; , \; \hat{A}\left[\sum_j^\infty
(\alpha_j,\psi_t)\alpha_j(x)\right]\right\rangle = \)
\(\displaystyle = \left \langle\sum_j^\infty (\alpha_j,\psi_t)\alpha_j(x)\;
, \;\sum_j^\infty (\alpha_j,\psi_t)\hat{A}\alpha_j(x)\right
\rangle = \)
\(\displaystyle = \left \langle\sum_j^\infty\sum_k^\infty(\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t)A_k\langle\alpha_j(x),
\alpha_k(x)\right \rangle = \)
\(\displaystyle = \sum_j^\infty\sum_k^\infty(\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t)A_k\delta_{jk}
\)
pero si la medida de  en el instante t da ciertamente el valor
A k, tendremos :
\(\displaystyle\sum_j^\infty\sum_k^\infty(\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t)A_k\delta_{jk}
= A_k \Rightarrow (\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t) = 1 \)
y puesto que:
\(\displaystyle\psi_t(x) = \sum_i^\infty(\alpha_i,\psi_t)\alpha_i\)
deberá ser :
\(\displaystyle\psi_t = (\alpha_k,\psi_t)\alpha_k\; ; \;\textrm{
con }(\alpha_k,\psi_t) =c\; , \;\textrm{ donde }|c|^2 = 1 \)
EJERCICIOS
DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA
ATÓMICA |
|
|
|
|