EJERCICIOS DE CÁLCULO INTEGRAL RESUELTOS
RESOLUCIÓN DE INTEGRALES

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Problema de cálculo integral

Calcular la integral:
    \( \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x}- \sqrt[4]{x}} \)
Respuesta al ejercicio 508

Para la integral, al tener en su composición radicandos, ensayamos un cambio de variable en la forma:
    \( x = z^4 \Rightarrow dx = 4·z^3dz \)
Con lo cual la integral nos queda:
    \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}- \sqrt[4]{x}} = \int \frac{4·z^3dz}{z^2 - z} =4 \int \frac{z^2dz}{z-1} \)
Puesto que el integrando no es una integral inmediata, por manipulaciones algabraicas tenemos:
    \( \displaystyle \frac{z^2}{z-1} = \frac{z^2 + 1 - 1}{z-1} = \frac{z^2 - 1}{z-1} + \frac{1}{z-1} = z+1+ \frac{1}{z-1} \)
Podemos hacer así:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int\frac{dx}{\sqrt{x}- \sqrt[4]{x}} = 4\int \left(z + 1 + \frac{1}{z-1}\right)dz = \\
     \\
    = 4\left[\frac{1}{2}z^2 + z + \ln (z-1)\right] + C
    \end{array} \)
Y volviendo a la variable original:
    \( \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x}- \sqrt[4]{x}} = 2\sqrt{x} + 4\sqrt[4]{x} + \ln\left(\sqrt[4]{x}-1\right)^4 + C\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás