PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Hallar el volumen engendrado por la hipérbola:
    \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
Al girar alrededor del eje OY entre los límites -b y b.

Respuesta al ejercicio 80

Para resolver el problema, consideramos la figura adjunta:

itegral para allar el volumen encerrado por una curva al girar

El lamento diferencial de volumen es:
    \( dV = \pi y^2 dx \)
Por lo tanto el volumen del cuerpo engendrado por una curva plana y = f(x) al girar alrededor del eje OX es:
    \( \displaystyle V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx \)
Análogamente el volumen del cuerpo engendrado por la curva plana x = f(y) al girar alrededor del eje OY es:
    \( \displaystyle V = \pi \int_{c}^{d} x^2 dy \)

Si en vez de un arco de curva tenemos una curva cerrada o un área plana limitada por dos arcos \(y_1(x) \quad e \quad y_2(x)\) el volumen engendrado

cuerpo limitado por dos curvas

será la diferencia de los volumenes generados por los trapezoides de finitos por \(y_1 \quad e \quad y_2\)

    \( \displaystyle V = \pi \int_{a}^{b} (y^2_1- y^2_2)dx \)
A partir de la ecuación de la hipérbola, tenemos :
    \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow x^2 = a^2\left(1+ \frac{y^2}{b^2}\right) \)
Y sustituyendo en la expresión que nos da el volumen, tenemos:
    \( \displaystyle V = \pi \int_{-b}^{+b} x^2 dy = \pi \int_{-b}^{+b} a^2\left(1+ \frac{y^2}{b^2}\right)dy = a^2\pi \left[y - \frac{y^3}{3b^2}\right]_{-b}^{+b} = \frac{4}{3}\pi a^2 b \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás