PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Hallar el área engendrada por la curva:
    \( y = x^3\)
Al girar alrededor del eje OX y comprendida entre x = 0 y x = a.

Respuesta al ejercicio 77

itegral para allar el area  de una superficie de revolución

Supongamos que y = f(x) positiva y tomemos la tangente en el punto medio de cada intervalo , al girar alrededor del eje X cada elemento de curva engendra el área de un tronco de cono, igual al producto de la circunferencia media por la generatriz
    \( dA = 2\pi y·dS \)
Entonces el área generada por la rotación de arco de curva comprendido entre x = a y x = b es:
    \( \displaystyle A = 2\pi\int_{a}^{b} y·dS \)

Y sabemos que la expresión de elemento diferencial arco

arco diferencial

, dS, vale

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \triangle S = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{\triangle y}{\triangle x}\right)^2}·\triangle x \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow dS = \sqrt{1 + y'^2} dx
    \end{array} \)
Así pues el área de revolución será
    \( \displaystyle A = 2\pi\int_{a}^{b} y·dS = 2\pi\int_{a}^{b} y\sqrt{1 + y'^2} dx \)
Por lo tanto aplicando estas notas al problema que tenemos resulta
    \( \displaystyle A = 2\pi \int_{0}^{a}x^3·dS \)

Y en este caso el elemento diferencial de arco, dS, valdrá

    \( \displaystyle dS = \sqrt{1 + y'^2} dx = \sqrt{1 + (3x^2)^2} dx \)
Por lo que tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A = 2\pi \int_{0}^{a}x^3\sqrt{1 + (9x^4)} dx = 2 \pi\frac{1}{36}\frac{2}{3}\left.\left(1+9x^4\right)^{3/2}\right]_{0}^{a} = \\
     \\
    = \frac{\pi}{27}\left[\left(1+9a^4\right)^{3/2} - 1\right]
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás