Respuesta al ejercicio 77
Supongamos que y = f(x) positiva y tomemos la tangente en el punto
medio de cada intervalo , al girar alrededor del eje X cada elemento
de curva engendra el área de un tronco de cono, igual al
producto de la circunferencia media por la generatriz
Entonces el área generada por la rotación de arco
de curva comprendido entre x = a y x = b es:
\( \displaystyle A = 2\pi\int_{a}^{b} y·dS \)
Y sabemos que la expresión de elemento diferencial arco
, dS, vale
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\triangle S = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2} = \sqrt{1
+ \left(\frac{\triangle y}{\triangle x}\right)^2}·\triangle
x \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow dS = \sqrt{1 + y'^2} dx
\end{array} \)
Así pues el área de revolución será
\( \displaystyle A = 2\pi\int_{a}^{b} y·dS = 2\pi\int_{a}^{b}
y\sqrt{1 + y'^2} dx \)
Por lo tanto aplicando estas notas al problema que tenemos resulta
\( \displaystyle A = 2\pi \int_{0}^{a}x^3·dS \)
Y en este caso el elemento diferencial de arco, dS, valdrá
\( \displaystyle dS = \sqrt{1 + y'^2} dx = \sqrt{1 + (3x^2)^2}
dx \)
Por lo que tendremos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
A = 2\pi \int_{0}^{a}x^3\sqrt{1 + (9x^4)} dx = 2 \pi\frac{1}{36}\frac{2}{3}\left.\left(1+9x^4\right)^{3/2}\right]_{0}^{a}
= \\
\\
= \frac{\pi}{27}\left[\left(1+9a^4\right)^{3/2} - 1\right]
\end{array} \)