PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Hallar el área encerrada por la curva:
    \( \rho = a·\cos 2\theta \)
Respuesta al ejercicio 75

Tenemos la ecuación de una curva dada en coordenadas polares. El área del sector limitado por la misma y los radios vectores de argumentos \(\theta_1 \quad y\quad \theta_2\) se halla en general de la siguiente forma
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    dA = \frac{1}{2}\rho (\rho + d\rho)\sin (d\theta) = \\
     \\
    = \frac{1}{2}(\rho^2 + \rho d\rho)d\theta = \frac{1}{2}\rho^2 d\theta + \frac{1}{2}\rho d\rho d\theta
    \end{array} \)
Y despreciando el infinitésimo de segundo orden, nos queda
    \( \displaystyle dA = \frac{1}{2}\rho^2 d\theta \Rightarrow A =\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{2}\rho^2 d\theta \)
En el esquema adjunto representamos la figura de la que hay que determinar el área:

itegral para allar el area encerrada por una curva

Por lo tanto el área total será 8 veces la rayada. Tenemos
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A =8 \int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{2}\rho^2 d\theta = 4a^2 \int_{0}^{\pi/4} \cos^2 2\theta d\theta = \\
     \\
    = 4a^2 \frac{1}{2}\; \frac{1}{2}\left[2 \theta + \frac{1}{2}\sin 4\theta\right]_{0}^{\pi/4} = 4a^2 \frac{1}{4}\; 2 \frac{\pi}{4} = \frac{\pi a^2}{2}
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás