PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Hallar el área de la elipse :
    \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
Respuesta al ejercicio 72

En la figura adjunta representamos el área de la cuarta parte de la figura

integral para allar el area de una elipse

Por tanto el área total será cuatro veces la calculada.
Comenzamos haciendo la siguiente transformación
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{y^2}{b^2}= 1 - \frac{x^2}{a^2}\;; y^2 = b^2\left( 1 - \frac{x^2}{a^2}\right) \\
     \\
    y = \pm b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}
    \end{array} \)
Así pues tenemos:
    \( \displaystyle S = \int_{-a}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}dx - \int_{-a}^{a}-\frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}dx = 4 \int_{a}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}dx \)
Para desarrollar esta integral efectuamos el cambio:
    \( x = a·\sin t \Rightarrow dx = a·\cos t dt \)
Con lo cual nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    S = 4\frac{b}{a}\int_{0}^{\pi/2}a \sqrt{1 - \sin^2 t}a·\cos tdt = 4 ab \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 tdt = \\
     \\
    = 4 ab \frac{1}{2}\left.\left(t + \frac{1}{2}\sin 2t\right)\right]_{0}^{\pi/2} = 2 ab \frac{\pi}{2} = \pi ab
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás