Respuesta al ejercicio 52
La primera integral es:
\(\displaystyle \int \frac{\ln^2 x}{2x -2x·\ln x + x·\ln^2 x}dx
\)
Tenemos, como en el ejercicio anterior, que si derivamos el denominador
obtenemos la expresión del numerador. Por lo tanto, representando
el denominador por z, resulta:
\(\displaystyle z = 2x -2x·\ln x + x·\ln^2 x \Rightarrow \frac{dz}{dx}=
2 - 2·\ln x - 2x·\frac{1}{x}+ \)
\(\displaystyle + \ln^2 x + x·2\ln x ·\frac{1}{x} = \ln^2 x
\Rightarrow dz = (\ln^2 x) dx \)
Con estos datos podemos escribir la integral en terminos de z:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{\ln^2 x}{2x -2x·\ln
x + x·\ln^2 x}dx = \\ \\ = \frac{1}{2x -2x·\ln x + x·\ln^2
x}\times (\ln^2 x)dx = \int \frac{1}{z}dzt \end{array}\)
Y a partir de ahí:
\(\displaystyle \frac{1}{z}dz = \ln z+ C \Rightarrow \ln (2x
-2x·\ln x + x·\ln^2 x) + C\)
Sea ahora la segunda integral:
\(\displaystyle \int\frac{e^x}{(e^x + 1)}dx \)
podemos ver,también en este caso, que si derivamos el denominador
obtenemos la expresión del numerador. Por lo tanto, representando
el denominador por t, resulta:
\(\displaystyle t =e^x + 1 \Rightarrow dt = e^x dx \Rightarrow
\frac{dt}{dx} = e^x \)
Con estos datos podemos escribir la integral en terminos de t:
\(\displaystyle \int\frac{e^x}{(e^x + 1)}dx = \frac{1}{e^x +
1}\times e^xdx = \int \frac{1}{t}dt\)
Y a partir de ahí:
\(\displaystyle \frac{1}{t}dt = \ln t + C \Rightarrow \ln (e^x+
1) + C\)