Ejercicios de cálculo integral

Calcular las integrales:

\( \displaystyle \int x\sqrt{1 + x}·dx \; ; \; \int x \ln x ·dx\)

Por el metodo de integración por partes.

Respuesta al ejercicio 48

Para la primera integral hacemos:

\( \displaystyle\begin{array}{l} u = x \; ; \; dv = \sqrt{1+x}·dx\; ; \; du = dx \; ; \; v = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \\  \\ \int udv = uv - \int vdu \end{array} \)

De ese modo tenemos:

\(\displaystyle\int x\sqrt{1 + x}dx = \frac{2}{3}x(1+x)^{3/2} - \frac{2}{3} \int(1+x)^{3/2}dx \)

Y realizando la ultima de las integrales:

\(\displaystyle - \frac{2}{3} \int (1+x)^{3/2}dx = -\frac{2}{3} \frac{(1+x)^{5/2}}{5/2} + C\)

Quedando finalmente:

\(\displaystyle\int x\sqrt{1 + x}·dx = \frac{2}{3}x\sqrt{(1+x)^3} - \frac{4}{15}\sqrt{(1+x)^5} + C\)

Para la segunda integral tenemos:

\(\displaystyle u = \ln x\; ; \; dv = x·dx \rightarrow du = \frac{dx}{x}\; ; \; v = \frac{x^2}{2} \; ; \;\int udv = uv - \int vdu\)

Por lo que nos quedará:

\(\displaystyle\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\frac{dx}{x} \)

Y finalmente, puesto que la integral que queda es inmediata:

\(\displaystyle \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C \)