Ejercicios de cálculo integral
Calcular la integral:
\( \displaystyle \int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{5x^2 - 4}} \)
Respuesta al ejercicio 43
Para encontrar la solución de esta integral, aplicamos
el cambio de variable:
\( \displaystyle x-2 = \frac{1}{t} \rightarrow dx = \frac{-
dt}{t^2} \)
Con lo cual al sustituir nos queda:
\( \displaystyle\int\frac{- dt/t^2}{\frac{1}{t}\sqrt{5\left(\frac{1}{t}+
2\right)-\left(\frac{1}{t}+ 2\right)^2 - 4 }} = - \int \frac{dt}{\sqrt{2t^2
+ t - 1}} = \)
\( \displaystyle = - \int\frac{dt}{\sqrt{\left(\sqrt{2}t + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}-
\frac{9}{8}} \)
Y haciendo un nuevo cambio de variable:
\( \displaystyle \sqrt{2}t+ \frac{1}{2\sqrt{2}} = z \; ; \;
\sqrt{2}dt = dz \)
Nos queda:
\( \displaystyle - \int\frac{dz/\sqrt{2}}{z^2 - \frac{9}{8}}
= - \frac{1}{\sqrt{2}}Arg\; Ch \frac{2\sqrt{2}z}{3}+ C \)
Y deshaciendo los cambios de la primera variable:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{2}}Arg\; Ch
\frac{2\sqrt{2}z}{3} - \frac{1}{\sqrt{2}}Arg\; Ch\frac{2\sqrt{2}[\sqrt{2}t
+ \frac{1}{2\sqrt{2}}]}{3} = \\ \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}}Arg\;
Ch\frac{4t + 1}{3} \end{array} \)
Y de la segunda :
\( \displaystyle- \frac{1}{\sqrt{2}}Arg\; Ch\frac{4t + 1}{3}
= - \frac{1}{\sqrt{2}}Arg\; Ch\frac{\frac{4}{x-2} + 1}{3} \)