Ejercicios de cálculo integral
Calcular la integral:
\( \displaystyle \int\frac{xdx}{x^2 + 2x + 2} \)
Respuesta al ejercicio 30
Podemos transformar el integrando como sigue:
\( \displaystyle\frac{x}{x^2 + 2x + 2} = \frac{2x}{2(x^2 + 2x
+ 2)} = \frac{2x +2 - 2}{2(x^2 + 2x + 2)}= \)
\( \displaystyle= \frac{2x +2 }{2(x^2 + 2x + 2)} - \frac{2}{2(x^2
+ 2x + 2)} \)
El primero de los sumandos nos da:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{(2x + 2)dx}{2(x^2
+ 2x + 2)} = \frac{1}{2}\int\frac{d(x^2 + 2x + 2)}{2(x^2 + 2x
+ 2)} = \\ \\ = \frac{1}{2}\ln (x^2 + 2x + 2) + C_1 \end{array}
\)
El segundo de los sumandos nos da:
\( \displaystyle\int\frac{dx}{x^2 + 2x + 2} =\int\frac{dx}{2(x+1)^2
+ 1} = \arctan(x+1) + C_2 \)
Por lo que, finalmente:
\( \displaystyle \int\frac{xdx}{x^2 + 2x + 2}=\frac{1}{2}\ln(x^2
+ 2x + 2) - \arctan(x+1) + C\)