Ejercicios de cálculo integral

Explicar cómo pueden resolverse integrales de la forma:

\( \displaystyle \int x^m e^{ax}dx \quad ; \quad \int P(x) e^{ax}dx\)

Respuesta al ejercicio 15

Integrales de los tipos indicados en el enunciado pueden resolverse por el método de integración por partes aplicado reiteradamente. Este proceso recibe el nombre de integración por reducción.
Así, por ejemplo, para el primer tipo de integrales tenemos:

\( \displaystyle I_m = \int x^m e^{ax}dx = x^m \frac{e^{ax}}{a}+ \int mx^{m-1}\frac{e^{ax}}{a}dx \)

Y aplicando de nuevo el método de integración por partes

\( \displaystyle I_m =x^m \frac{e^{ax}}{a} - \frac{mx^{m-1}}{a}\frac{e^{ax}}{a} + \int m(m-1)x^{m-2}\frac{e^{ax}}{a^2}dx \)

Haciendo así m veces nos queda

\( \displaystyle \begin{array}{l} I_m =\int x^m e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a}\left[x^m - \frac{m}{a}x^{m-1} + \right. \\  \\ \left. \frac{m(m-1)}{a^2}x^{m-1}+ \cdots +(-1)^m\frac{m!}{a^m}\right] \end{array} \)

El método para obtener en cada caso la parte integrada es dividir por a la parte que queda bajo el operador integral.
Para integrales del segundo tipo seguimos un proceso análogo para obtener:

\( \displaystyle \begin{array}{l} I_m = \int P(x)e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a^2}\left[P(x) -\frac{P'(x)}{a}+\cdots \right. \\  \\ \left.\cdots +(-1)^m\frac{m!}{a^m} \right] \end{array} \)