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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Calcular los potenciales y campos en todos los puntos del espacio debido a un cilindro infinito uniformemente cargado de radio \( a \) y densidad \( \rho \).
Tómese como eje Z el eje del cilindro, sea \( \varepsilon_o \) en todos los puntos y el potencial del eje \( \varphi (r=0)= 0 \).

Respuesta al ejercicio 80

Como el sistema posee un eje axial de simetría, se reduce bastante el problema. Tomamos un sistema de coordenadas cilíndricas, donde la ecuación de Laplace es:
    \( \displaystyle \nabla^2\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial r^2}+ \frac{1}{r}·\frac{\partial \varphi}{\partial r } + \frac{1}{r^2}·\frac{\partial^2\varphi}{\partial \alpha^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} \)
Como quiera que el potencial depende únicamente de \( r \), se tiene:
    \( \displaystyle \nabla^2\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial r^2}+ \frac{1}{r}·\frac{\partial \varphi}{\partial r } = \frac{1}{r}·\frac{d}{dr}\left(r·\frac{d\varphi}{dr}\right)\)
Y por lo tanto podemos escribir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{r}ˇ\frac{d}{dr}\left(rˇ\frac{d\varphi_1}{dr}\right)= - \frac{\rho}{\varepsilon_o}\qquad 0 < r < a \\  \\ \frac{1}{r}ˇ\frac{d}{dr}\left(rˇ\frac{d\varphi_2}{dr}\right)= 0\qquad r > a \\  \end{array}\)
La solución general de la ecuación la tenemos por integración directa:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \varphi_1 = - \frac{1}{4}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·r^2 + A_1·\ln r + B_1 \\
     \\
    \varphi_2 = A_2·\ln r + B_2 \\
    
    \end{array} \)
Como el potencial debe ser finito en todos los puntos, y \( \ln r = -\infty \) cuando \( r \rightarrow 0 \), deberemos poner \( A_1 = 0\) en las ecuaciones anteriores.
Cómo \( \varphi_1(0) = 0 \) resulta \( B_1=0 \)
La condición de que el potencial y su derivada sean continuos en \( r=a \), nos da:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A_2·\ln a + B_2 = - \frac{1}{4}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·a^2 \\
     \\
    \frac{A_2}{a}= - \frac{1}{4}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·a \\
    
    \end{array} \)
Por lo que obtenemos para los potenciales:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \varphi_1 = - \frac{1}{4}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·r^2 \qquad en \qquad 0<r<a \\
     \\
    \varphi_2 = \frac{1}{2}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·a^2·\ln \frac{a}{r}-\frac{1}{4}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·a^2 \quad en\; r>a \\
    
    \end{array}\)
Y para los campos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E_r = - \frac{\partial \varphi_1}{\partial r} = \frac{1}{2}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·r \qquad 0<r<a \\
     \\
    E_r = - \frac{\partial \varphi_2}{\partial r} = \frac{1}{2}·\frac{\rho}{\varepsilon_o}·\frac{a^2}{r}\quad en\; r>a \\
    
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás