PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Calcular el campo de un cilindro infinito de radio \( r_1 \) cargado con una densidad volumétrica \( \rho \) a una distancia
    \( \begin{array}{l}
    1)\qquad r_2 > r_1 \\
     \\
    2)\qquad r_2 < r_1 \\
    
    \end{array} \)

Respuesta al ejercicio 77

Lo calculamos primero para \( r_2 > r_1\)
cilindro de Gauss
Si consideramos el cilindro de la figura se tendrá para una longitud L:
    \( \displaystyle \int \vec{E} · d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_o} \)
\( \vec{E} \) radial y su módulo se puede calcular de la ecuación anterior donde el flujo:
    \( \displaystyle \int \vec{E} · d\vec{S} \)
Solamente saldrá por la superficie lateral, la carga \( q\) total será:
    \( \displaystyle q = \int_{V}\rho·dv = \rho·\pi·r_1^2·L \)
Para superficie de Gauss cumple otro cilindro concéntrico con el anterior y de radio \( r_2 \), y la misma altura. Siendo así tendremos:
    \( \displaystyle \int \vec{E} · d\vec{S} = E·2\pi·r_2L \)
Que nos dará finalmente:
    \( \displaystyle E·2\pi·r_2L = \frac{\rho·\pi·r_1^2L}{\varepsilon_o} \)
Lo que es igual a:
    \( \displaystyle E = \frac{\rho}{2·\varepsilon_o}·\frac{r_1^2}{r_2}\qquad (1) \)
Si \( r_2 < r_1\), tendremos que fijarnos cuál es la carga contenida dentro del volumen de Gauss.
carga contenida dentro del volumen de Gauss
Cómo \( \rho \) es una densidad de carga por unidad de volumen, volumen interior al recinto de Gauss, es.
    \( \pi·r_2^2·L \)
Y por tanto la carga:
    \( q = \rho·\pi·r_2^2·L \)
Por lo tanto aplicando Gauss, tenemos:
    \( \displaystyle E·2\pi·r_2·L = \frac{\rho·\pi }{\varepsilon_o}·r_2^2·L \)
De dónde:
    \( \displaystyle E = \frac{\rho}{2·\varepsilon_o}·r_2\qquad (2) \)
Y en este caso, igual que antes, el sentido del campo es radial.
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás