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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Determinar la función potencial en el interior de un cilindro conductor indefinido culla traza rectangular en el plano \( (x,y) \) es:
    \( y = 0 \quad e \quad y = b \)
Están a 0 voltios.
    \( x = a \quad e \quad x = -a \)
Están a \( V_o \) voltios.

Respuesta al ejercicio 76

Tenemos que considerar la ecuación de Laplace, puesto que en el interior del conductor no hay carga.
ecuación de Laplace
Dada la simetría del problema, el potencial no depende de z, por lo que tomaremos coordenadas cartesianas y aplicaremos el método de separación de variables, que nos permite escribir:
    \( \displaystyle \frac{1}{X}·\frac{d^2}{dx^2} = - \frac{1}{Y}·\frac{d^2Y}{dy^2} = C \)
El potencial tiene ceros repetidos en el eje y, tomaremos una solución periódica para dicho eje. De ese modo pondremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d^2Y}{dy^2} + k^2·Y = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow Y = A_1·\sin k·y + B_1·\cos k·y = A_1·\sin \frac{2n+1}{b}·\pi·y \\
    
    \end{array} \)
Puesto que las condiciones de contorno son:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    Y(0) = 0 \Rightarrow B_1 = 0 \; ; \; Y(b) = 0\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow A_1·\sin k·b = 0 \Rightarrow k = \frac{2n+1}{b}·\pi \\
    
    \end{array} \)
Con estos datos podemos escribir para la ecuación \( X(x) \):
    \( X(x) = A_2·Sh \:k·x + B_2·Ch \: k·x\left\{
    \begin{array}{l}
    V_o = A_2·Sh \: k·a + B_2·Ch \: k·a \\
     \\
    V_o = -A_2·Sh \: k·a + B_2·Ch \: k·a \\
    \end{array}
    \right. \)
Restando una relación de la otra nos queda:
    \( 0 = 2·A_2·Sh \: k·a = 0 \Rightarrow A_2 = 0 \)
Por lo que finalmente tendremos una solución general:
    \( \phi(x,y) = A·Ch\: kx \times \sin \:ky \)
Pero resulta que esta ecuación no se cumple para todo \( 0 \leq y \leq b \) por lo que hemos ensayar una solución de la forma:
    \( \displaystyle \phi(x,y) = \sum_{0}^{\infty} A·Ch\: kx \times \sin \:ky \)
Qué deberá cumplir:
    \( \displaystyle V_o = \sum_{0}^{\infty} A_n·Ch\: \frac{2n+1}{b}·\pi \:a \times \sin \:\frac{2n+1}{b}·\pi \:y \)
Por lo que tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    d_n = A_n·Ch \frac{2n+1}{b}·\pi·a = \\
     \\
    \frac{2}{b}\int_{0}^{b}V_o·\sin \frac{2n+1}{b}·\pi·x·dx = \frac{4·V_o}{\pi(2n+1)} \\
    
    \end{array} \)
Y la solución final será:
    \( \displaystyle \phi(x,y) = \sum_{0}^{\infty}\frac{4·V_o}{\pi(2n+1)}·\frac{Ch \left(\frac{2n+1}{b}·\pi·x\right)}{Ch \left(\frac{2n+1}{b}·\pi·a\right)}·\sin \frac{2n+1}{b}·\pi·y \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás