PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Obtener la distribución de potencial en un campo electrostático \( u(x,y) \) dentro del rectángulo OACB, suponiendo que a lo largo de OB el potencial es \( U_o \) y que los tres lados restantes están conectados a tierra. En el interior del rectángulo no hay carga eléctrica.

Respuesta al ejercicio 73

Tenemos que aplicar la ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares
ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares
con las condiciones de contorno:
    \( U(0,y) = U_o \;;\; U(a,y) = U(x,0) = U(x,b) = 0 \)
Para ello, sí consiremos variables separadas,
    \( U(x,y) = X(x)·Y(y)\)
Con lo que obtenemos:
    \( \displaystyle \frac{X"(x)}{X(x)} =- \frac{Y"(y)}{Y(y)} = k^2 \)
Nota.- cuando el potencial es doblemente nulo sobre el eje Y como en este caso, se toma \( k^2 \) positiva, de forma que salga una solución en senos y cosenos para \( Y(y) \). Cuando es doblemente nula en el eje X, se toma \( -k^2 \).
Por las consideraciones vistas en el problema anterior vemos que se tiene:
    \( X(x) = A·e^{k·x} + B·e^{-k·x} \; ;\; Y(y) = C·\sin k·y + B·\cos k·y \)
Y por las condiciones de contorno nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    Y(0) = 0 \Rightarrow D = 0 \\
     \\
    Y(b) = 0 \Rightarrow C·\sin k·b = 0 \Rightarrow \sin k·b = 0 \; ;\; k·b = n·\pi \Rightarrow k = \frac{n·\pi}{b} \\
     \\
    X(a) = A·e^{k·a} + B·e^{-k·a} = 0 \Rightarrow B = -A·e^{2k·a} \\
    
    \end{array} \)
Con lo que tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    X(x) = A·e^{k·x} - A·e^{2k·a}·e^{-k·x} = \\
     \\
    = - A·e^{k·a}(e^{k·a}·e^{-k·x}- e^{-k·a}·e^{k·x} = C·Sh k(a-x) \\
    
    \end{array} \)
Y la solución general será:
    \( U(x,y) = C·Sh k(a-x)·\sin k·y \)
Pero teniendo en cuenta la condición de contorno que nos queda:
    \( U(0,y) = U_o = C·Sh k·a · \sin k·y \)
Como esta solución no se ajusta al enunciado debemos ensayar una solución de la forma:
    \( U(x,y) = \sum C_n·Sh k(a-x)·\sin k·y \)
De donde tendremos:
    \( U(0,y) = \sum C_n ·Sh k·a · \sin k·y = \sum D_n·\sin k·y \)
Y los coeficientes \( D_n \) se obtienen a partir de:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    D_n = \frac{2}{b}\int_{0}^{b}U_o·\sin \frac{n·\pi}{b}·y·dy =\left. - \frac{2·b}{n·b·\pi}·U_o·\cos \frac{n·\pi}{b}·y\right]_{0}^{b}= \\
     \\
    = - \frac{2·U_o}{n·\pi}\left[(-1)^n - 1\right] \\
    
    \end{array} \)
Esta expresión es nula sí n es par y y vale,
    \( \displaystyle \frac{4·U_o}{n·\pi} \)
Sí n es impar. Por consiguiente, la solución final podrá escribirse en la forma:
    \( \displaystyle U(x,y) = \sum_{0}^{\infty}\frac{4·U_o}{(2n+1)\pi}·\frac{Sh (2n+1)\frac{\pi}{b}(a-x)}{Sh (2n+1)\frac{\pi}{b}·a}·\sin (2n+1)\frac{\pi}{b}·y \)
Nota.- cuando la integración en la serie de Fourier es sobre el intervalo \( (0,a) \), la integral se multiplica por \( (2/a) \). Cuándo es sobre el intervalo \( (-a,a) \), se multiplica por \( (1/a) \).
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás