PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de electromagnetismo

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

Ejercicios de Electromagnetismo

Hallar la distribución de potencial en la tira
    \( 0 \leq x \leq a\qquad 0 \leq y \leq \infty \)
Que satisface las condiciones de contorno:
    \( \displaystyle u(0,y) = 0 \; ;\; u(a,y) = 0 \; ; \; u(x,0) = u_o\left(1 - \frac{x}{a}\right)\; ;\; u(x,\infty) = 0\quad (0 \leq x\leq a) \)

Respuesta al ejercicio 72

Consideremos la ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares para dos variables:
    \( \displaystyle \frac{\partial ^2U}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2U}{\partial y^2} = 0 \qquad (\ast) \)
Considerando una solución de la forma:
    \( u(x,y) = X(x)·Y(y)\)
Podemos hacer:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial U}{\partial x} = X'(x)·Y(y) \; ; \; \frac{\partial ^2U}{\partial x^2}= X"(x)·Y(y) \\
     \\
    \frac{\partial U}{\partial y} = X(x)·Y'(y) \; ; \; \frac{\partial ^2U}{\partial y^2}= X(x)·Y"(y) \\
    
    \end{array} \)
Por lo que sustituyendo en (*), tenemos:
    \( \displaystyle X"(x)·Y(y) + X(x)·Y"(y) = 0 \Rightarrow \frac{X"(x)}{X(x)} = \frac{Y"(y)}{Y(y)} \)
En esta ecuación el primer miembro dependo solo de x y el segundo solo de y. Por lo tanto, para que sean iguales debemos iguarlarlos a una constante (tomaremos esa constante de modo que nos salgan soluciones circulares en X)
    \( \displaystyle \frac{X"(x)}{X(x)} =- \frac{Y"(y)}{Y(y)} = -k^2 \)
De ahí tenemos las dos ecuaciones:
    \( \displaystyle \frac{X"(x)}{X(x)} + k^2 = 0 \Rightarrow X"(x) + k^2·X(x) = 0\quad ; \quad Y"(y) - k^2·Y(y) = 0 \)
La solución para la primera de ellas puede expresarse en la forma:
    \( X(x) = A·\sin k·x + B·\cos k·x \)
Y de las condiciones de contorno tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    U(0,y) = X(0)·Y(y) = 0 \Rightarrow X(0) = 0 \\
     \\
    U(a,y) = X(a)·Y(y) = 0 \Rightarrow X(a) = 0
    \end{array} \)
De la primera condición tenemos \( B = 0\) ,y de la segunda resulta:
    \( X(a) = A·\sin k·a = 0 \)
Si tomamos \( A = 0\) la solución es idénticamente nula y no nos resuelve el problema que nos interesa. Tomamos entonces:
    \( \sin k·a = 0 \Rightarrow k·a = n·\pi\qquad\: ;\: \quad n = 0 \:,\: \pm 1 \:,\: \pm 2 \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle X(x) = A·\sin \frac{n·\pi}{a}·x \)
Por otro lado, la ecuación en y nos dará como solución:
    \( Y(y) = C·e^{k·y} + D·e^{-k·y} = C·e^{(n\pi/a)y} + D·e^{-(n\pi/a)y} \)
Y teniendo en cuenta las condiciones de contorno:
    \( U(x,\infty ) = X(x)·Y(\infty) = 0 \Rightarrow C = 0 \)
De dónde nos queda:
    \( \displaystyle Y(y) = D·\exp\left(- \frac{n·\pi}{a}·y\right) \)
Y para la solución general:
    \( \displaystyle U(x,y) = F·\exp\left(- \frac{n·\pi}{a}·y\right)·\sin\left( \frac{n·\pi}{a}·x\right) \)
Finalmente, considerando la última condición de contorno, tenemos:
    \( \displaystyle U(x,0) = F·\sin\left( \frac{n·\pi}{a}·x\right) = u_o\left(1 - \frac{x}{a}\right) \)
Puesto que no hay una constante F para que se ajuste el valor de la anterior ecuación, ensayamos una solución de la forma:
    \( \displaystyle \sum_{1}^{n}F_n·\sin\left( \frac{n·\pi}{a}·x\right) = u_o\left(1 - \frac{x}{a}\right) \)
Qué es una solución en serie de Fourier, cuyos coeficientes se obtienen por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    F_n = \frac{1}{a}\int_{-a}^{a}u_o\left(1 - \frac{x}{a}\right)·\sin \left(\frac{n·\pi}{a}·x\right)dx = \\
     \\
    = - \frac{u_o}{n·\pi}\left[\cos \frac{n·\pi}{a}·x \left(1 - \frac{x}{a}+ \frac{1}{a}\right)\right]= \\
     \\
    = - \frac{u_o}{n·\pi}\left[(1)^n - (-1)^n + \frac{1}{a}(1)^2 - (-1)^n\right. \\
     \\
    \left.- \frac{1}{a}(-1)^n\right] = \frac{2·u_o}{n·\pi}\\
    
    \end{array} \)
El que nos permiten escribir la solución general buscada en la forma:
    \( \displaystyle u(x,y) = \sum_{1}^{\infty} \frac{2·u_o}{n·\pi}·\exp\left(- \frac{n·\pi}{a}·y\right)·\sin\left( \frac{n·\pi}{a}·x\right) \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás