Ejercicios de Electromagnetismo

Un conductor coaxial se forma rodeando un conductor cilíndrico sólido de radio \( R_1 \), con un cilindro conductor coaxial de radio interno \( R_2 \) y radio externo \( R_3 \).
En la práctica usual se envía una corriente por el cable interior y esta regresa por la capa exterior.

Usando la ley de Ampère, determinar el campo magnético en puntos de las distintas regiones dentro y fuera del cable. Se puede suponer que la densidad de corriente es uniforme.

Respuesta al ejercicio 71

La ley de Ampère establece matemáticamente :

\( \displaystyle \oint \vec{B}·d\vec{l} = \mu_o\sum I \)

Vamos a considerar en primer lugar las partes que cumplen \( r < R_1\). En este caso el campo magnético es tangente a la sección del conductor interior y su módulo es constante; por lo tanto:

\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \)

Por otro lado, para calcular la intensidad de corriente que circula por una parte cualquiera hacemos:

\( \displaystyle I = J·\pi R^2_1 \Rightarrow J = \frac{I}{\pi·R^2_1}\Rightarrow I' = \left(\frac{I}{\pi·R^2_1}\right)\pi·r^2 =\frac{r^2}{R^2_1}·I \)

Según eso tenemos:

\( \displaystyle 2\pi·r·B = \mu_o·\frac{r^2}{R^2_1}·I \Rightarrow B = \frac{\mu_o·I·r}{2\pi·R^2_1} \)

Podemos calcular ahora el campo magnético en los casos en que se tenga \( R_1 < r < R_2\). En este caso, la circulación del campo magnético es igual que antes y podemos poner:

\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \)

Como la corriente que circula es la que pasa a través del conductor interior, se tendrá

\( \sum I = I\)

De donde resulta:

\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \Rightarrow B = \frac{\mu_oI}{2\pi·r} \)

Ahora los puntos \( R_2 < r < R_3\). La circulación del campo magnético tiene la misma forma de siempre:

\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \)

La intensidad neta que circula ahora será la que pase por el conductor interior menos la parte correspondiente al conductor exterior, es decir:

\( \displaystyle I = J·S \left\{\quad
\begin{array}{l}
I = J(R^2_3 - R^2_2 \\
 \\
I' = J(r^2 - R^2_2 \\
\end{array}\quad
\right\}\qquad I' = \frac{r^2 - R^2_2}{R^2_3-R^2_2}·I \)

De dónde tenemos:

\( \displaystyle 2\pi·r·B = \mu_o\left(I - \frac{r^2 - R^2_2}{R^2_3-R^2_2}·I\right) \Rightarrow B = \frac{\mu_o·I}{2\pi}·\frac{R^2_3 - r^2}{R^2_3 - R^2_2} \)

Por último, para las partes que cumplan \( r > R_3\) no se tendrá campo magnético puesto que \( \sum I= 0\).