Ejercicios de Electromagnetismo
Un conductor coaxial se forma rodeando un conductor cilíndrico
sólido de radio \( R_1 \), con un cilindro conductor
coaxial de radio interno \( R_2 \) y radio externo \( R_3 \).
En la práctica usual se envía una corriente por
el cable interior y esta regresa por la capa exterior.
Usando la ley de Ampère, determinar el campo magnético
en puntos de las distintas regiones dentro y fuera del cable.
Se puede suponer que la densidad de corriente es uniforme.
Respuesta al ejercicio 71
La ley de Ampère establece matemáticamente :
\( \displaystyle \oint \vec{B}·d\vec{l} = \mu_o\sum I
\)
Vamos a considerar en primer lugar las partes que cumplen \( r
< R_1\). En este caso el campo magnético es tangente
a la sección del conductor interior y su módulo
es constante; por lo tanto:
\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \)
Por otro lado, para calcular la intensidad de corriente que circula
por una parte cualquiera hacemos:
\( \displaystyle I = J·\pi R^2_1 \Rightarrow J = \frac{I}{\pi·R^2_1}\Rightarrow
I' = \left(\frac{I}{\pi·R^2_1}\right)\pi·r^2 =\frac{r^2}{R^2_1}·I
\)
Según eso tenemos:
\( \displaystyle 2\pi·r·B = \mu_o·\frac{r^2}{R^2_1}·I
\Rightarrow B = \frac{\mu_o·I·r}{2\pi·R^2_1}
\)
Podemos calcular ahora el campo magnético en los casos
en que se tenga \( R_1 < r < R_2\). En este caso, la circulación
del campo magnético es igual que antes y podemos poner:
\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \)
Como la corriente que circula es la que pasa a través del
conductor interior, se tendrá
De donde resulta:
\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \Rightarrow B = \frac{\mu_oI}{2\pi·r}
\)
Ahora los puntos \( R_2 < r < R_3\). La circulación
del campo magnético tiene la misma forma de siempre:
\( 2\pi r·B = \mu_o\sum I \)
La intensidad neta que circula ahora será la que pase por
el conductor interior menos la parte correspondiente al conductor
exterior, es decir:
\( \displaystyle I = J·S \left\{\quad
\begin{array}{l}
I = J(R^2_3 - R^2_2 \\
\\
I' = J(r^2 - R^2_2 \\
\end{array}\quad
\right\}\qquad I' = \frac{r^2 - R^2_2}{R^2_3-R^2_2}·I
\)
De dónde tenemos:
\( \displaystyle 2\pi·r·B = \mu_o\left(I - \frac{r^2
- R^2_2}{R^2_3-R^2_2}·I\right) \Rightarrow B = \frac{\mu_o·I}{2\pi}·\frac{R^2_3
- r^2}{R^2_3 - R^2_2} \)
Por último, para las partes que cumplan \( r > R_3\)
no se tendrá campo magnético puesto que \( \sum
I= 0\).
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