PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electromagnetismo

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Ejercicios de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Se considera un condensador ideal de placas circulares de radio R planoparalelas, sin distorsión de campo en los bordes. Calcular el flujo del vector de Pointing a través de la superficie cilíndrica lateral durante el periodo de carga y comparar este resultado con la variación de energía almacenada en el condensador en función del tiempo .

vector de Pointing  en una superficie cilíndrica

Respuesta al ejercicio 53

Sabemos que el vector de Pointing viene definido por:
    \( \vec{S} = \vec{E}\wedge \vec{H} \)


De ahí, que podamos escribir para el flujo pedido:

    \( \displaystyle \int\int \vec{S}ˇd\vec{s} = \int\int (\vec{E}\wedge \vec{H})d\vec{s} \)

Por otro lado, durante el periodo de carga, la densidad de corriente total es:

    \( \displaystyle \vec{j}_T = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = 0 \)

Pero tenemos:

    \( \vec{D} = \varepsilon_o\vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_o\vec{E} \)

Pues en este caso, al no existir dieléctrico resulta \( \vec{P}= 0\). A partir de ahí:

    \( \displaystyle \vec{j} = - \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t}\varepsilon_o\vec{E} = - \varepsilon_oˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)


Y según eso, la corriente valdrá:

    \( \displaystyle I = \varepsilon_oˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}ˇs \)

Por otro lado, de la ley de Ampére tenemos:

    \( \displaystyle I = \int \vec{H}ˇd\vec{l} = Hˇ2\pi R = \varepsilon_oˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}ˇs \)

Y considerando que \(s = \pi R^2 \), podemos despejar \(\vec{H} \) para obtener:

    \( \displaystyle H = \frac{R}{2}ˇ\varepsilon_oˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)

Con lo que finalmente resultará:

    \( \displaystyle \vec{S} = \vec{E}\wedge \vec{H} = EˇH = \frac{R}{2}ˇ\varepsilon_oˇEˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)


Y para el flujo tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi_{\vec{S}} = \int \vec{S}ˇd\vec{s} = \int\int \frac{R}{2}ˇ\varepsilon_oˇ\vec{E}ˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}ˇd\vec{s} = \\ \\ = \frac{R}{2}ˇ\varepsilon_oˇ\vec{E}ˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}ˇ2\pi ˇRˇL = R^2ˇ\varepsilon_o \pi Lˇ\vec{E}ˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{array} \)


Y este flujo es entrante, ya que el sistema en el proceso de carga está obteniendo energía.
Para obtener la variación de energía almacenada en el condensador tenemos:

    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}DˇE = \frac{1}{2}\varepsilon_oE^2 \Rightarrow W_T = WˇV = \frac{1}{2}\varepsilon_o \pi R^2ˇLˇE^2 \)

Y derivando esta expresión respecto al tiempo nos queda:

    \( \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}W_T = \varepsilon_o \pi R^2ˇLˇEˇ\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)

Expresión que coincide con el valor obtenido para el flujo del vector de Pointing.

PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás