Ejercicios de Electromagnetismo

Calcular la fuerza por m³ sobre el dieléctrico de un cable coaxial cuyo conductor interior tiene de radio 1 mm y cuyo conductor exterior tiene de radio interior 5 mm. Ambos están separados por un dieléctrico de constante dieléctrica relativa \( \varepsilon_r = 2,5 \). El conductor exterior está a potencial nulo y el interior a 25000 voltios.

Respuesta al ejercicio 37

Podemos considerar que el conductor interior es un hilo y, por tanto, tiene una distribución interior de carga lineal. Aplicando el teorema de Gauss resulta:

\( \displaystyle E · 2 \pi r ·l = \frac{q}{\varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{\lambda · l}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \rightarrow E = \frac{\lambda}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} \)

Y, por otro lado:

\( \displaystyle 25000 V = - \int \limits_{R_2}^{R_1} \frac{\lambda · dr}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0} · \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right) \)

Con lo cual nos queda:

\( \displaystyle \lambda = \frac{25000 \times 2 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0 }{\displaystyle \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)} \)

Y de ese modo resulta para el campo eléctrico:

\( \displaystyle E = = \frac{\lambda}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{25000 \times 2 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0 }{\displaystyle \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)} \times \frac{1}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{25000}{r · \ln (5)} \)

Tenemos ahora que la expresión general para la fuerza sobre el dieléctrico es:

\( \displaystyle \vec{F} = \int \limits_V \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r} \; \nabla \left(\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2\right) d V = \int \limits_V \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r} \frac{1}{2} \varepsilon_0 \; grad \left(\frac{25000}{r · \ln (5)}\right)^2 d V \)

Y operando:

\( \displaystyle \vec{F} = \int \limits_{R_2}^{R_1} \frac{\varepsilon_r - 1}{2·\varepsilon_r} · \varepsilon_0 \left(\frac{25000}{ \ln (5)}\right)^2 · \frac{1}{r^3}· 2 \pi · r · l· dr = \)

\( \displaystyle = \frac{\varepsilon_r - 1}{2·\varepsilon_r} · \varepsilon_0·l \left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right) \left(\frac{25000}{ \ln (5)}\right)^2 \)

Con lo que, finalmente, resultará para la fuerza por unidad de longitud

\( \displaystyle \vec{F} = \frac{2,5 - 1}{5} · 2 pi·\varepsilon_0 \left(\frac{1}{5} - 1\right)10^{-3} \left(\frac{25000}{ \ln (5)}\right)^2 Nw/m \)

Y tendrá dirección opuesta a las r crecientes.