Ejercicios de ElectromagnetismoLa función potencial asociada a una cierta distribución
de carga viene dada en coordenadas esféricas por las expresiones:
\( \displaystyle \phi = A·r· \cos \theta \quad \textrm{ en }
r \leq R \quad ; \phi = B.\frac{cos \theta}{r^2} \quad \textrm{
en } r > R \)
Donde A, B y R son constantes.
Se pide calcular la energía potencial electrostática
asociada a la distribución, expresándola en función
de las constantes, dieléctrica \( ( \varepsilon_0 ) \),
A y R, exclusivamente.
Respuesta al ejercicio 31
Una de las formas en las que se puede expresar la energía
potencial eléctrica de un sistema es mediante la ecuación:
\( \displaystyle U = \int \limits_V \frac{1}{2}· \varepsilon_0
E^2 dV \)
Siendo E el campo eléctrico asociada a la distribución
dada.
Para poder aplicar la expresión escrita, tenemos que calcular
el gradiente de las funciones dadas en el enunciado. En coordenadas
esféricas tenemos:
\( \displaystyle \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial
r}·\hat{u}_r + \frac{1}{r· \sin \theta}· \frac{\partial \phi}{\partial
\varphi}·\hat{u} _\varphi + \frac{1}{r}·\frac{\partial \phi}{\partial
\theta}·\hat{u} _\theta \)
Por lo que en este caso:
\( \begin{array}{l} \displaystyle E_1 = - grad \phi _1 = - A
· \cos \theta · \hat{u}_r + A· \sin \theta · \hat{u}_\theta \\
\\ \displaystyle E_2 = - grad \phi _2 = \frac{2B}{r^3} · \cos
\theta \hat{u}_r + \frac{B}{r^3}· \sin \theta · \hat{u}_\theta
\end{array} \)
Y cada uno de estos vectores tiene de módulo:
\( \begin{array}{l}
\displaystyle |E_1| = \sqrt{A^2 · \cos^2 \theta + A^2· \sin^2 \theta} = A \\
\\
\displaystyle |E_2| = \sqrt{ \frac{4B^2}{r^6} · \cos^2 \theta + \frac{B^2}{r^6}· \sin^2 \theta} = \frac{B}{r^3}\sqrt{3·\cos ^2 \theta +1}
\end{array} \)
Por lo que podemos escribir para la energía potencial:
\( \displaystyle \int \limits_0^R \frac{\varepsilon_0 A^2}{2}
4\pi r^2 dr + \int \limits_R^\infty \int \limits_0^\pi \frac{\varepsilon_0}{2}
\frac{B^2}{r^6} 2 \pi r^2 (3 \cos^2 \theta +1) \sin \theta ·
dr d\theta \)
Para la primera integración de la integral doble, tenemos:
\( \begin{array}{l} \displaystyle \int \limits_R^\infty \int
\limits_0^\pi \frac{1}{2}· \varepsilon_0\frac{B^2}{r^6}·2 \pi
r^2 (3· \cos^2 \theta +1) \sin \theta dr d\theta = \\ \\ \displaystyle
\int \limits_R^\infty \pi \varepsilon_0\frac{B^2}{r^4} \Big[- \cos^3
\theta - \cos \theta \Big]_0^\pi dr = \int \limits _R^\infty 4· \pi
\varepsilon_0\frac{B^2}{r^4} dr\end{array}\)
Y de ese modo nos queda, finalmente :
\( \displaystyle U = \frac{2 \varepsilon_0 A^2 \pi R^3}{3} + \frac{4 \varepsilon_0 B^2 \pi }{3R^3} \)
Pero resulta que en r = R los potenciales deben ser iguales; por
lo tanto:
\( \displaystyle a·r· \cos \theta \Leftrightarrow B·\frac{\cos \theta}{r^2} \Bigg|_{r=R} \rightarrow AR^3 = B \)
Y sustituyendo el valor obtenido para B:
\( \displaystyle U = \frac{2 \varepsilon_0 A^2 \pi R^3}{3} + \frac{4 \varepsilon_0 B^2 \pi }{3R^3} = 2 \pi
\varepsilon_0 A^2 R^3 \)
Que es la expresión pedida.
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