Ejercicios de Electromagnetismo

En una circunferencia de radio R, centro en el origen y situada en el plano XY, reside una distribución lineal de carga cuya densidad lineal es, en coordenadas cilíndricas:

\( \lambda = \lambda_0 · \sin ^2 \varphi \; ; \; \lambda_0 = cte \)

Se pide calcular el campo eléctrico en el punto (0,0,z), el potencial de dicho punto respecto del infinito y, finalmente, el punto del eje Z que esté a mayor potencial, así como dicho potencial máximo

Respuesta al ejercicio 27

Considerando la figura adjunta, tenemos que el campo eléctrico en un punto cualquiera del eje Z será:

\( \displaystyle E_z = \int \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}·\frac{\lambda · dl}{d^2} · \cos \theta \)

Pero teniendo en cuenta las equivalencias:

\( \displaystyle dl = R·d\varphi \; ; \; \cos \theta = \frac{z}{d} = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \)

Podemos poner:

\( \displaystyle E_z = \frac{\lambda_0 R·z}{4 \pi \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \int \limits_0^{2 \pi} \sin^2 \varphi · d\varphi = \frac{\lambda_0 R·z}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \)

Para obtener el potencial respecto del infinito podemos escribir:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \phi = - \int E·dr = - \int \limits_\infty^z \frac{\lambda_0 R·z}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} dz = \\ \\ - \frac{1}{2}·\frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0} \int \limits_\infty^z t^{-3/2} dt = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{1/2}} \end{array} \)

Donde hemos hecho el cambio de variable\( (R^2 + z^2) = t \) t ; 2z.dz = dt.
Por último, para obtener el punto z que está a mayor potencial, hacemos:

\( \displaystyle \frac{d \phi}{dz} = 0 = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0}\left[- \frac{z}{(R^2 + z^2)^{1/2}}\right] \quad \rightarrow \quad z = 0 \)

Y llevando este valor de z a la expresión del potencial:

\( \displaystyle \phi_{max} = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0(R^2)^{1/2}} = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0} \)