Ejercicios de ElectromagnetismoSe considera una distribución cúbica de carga en
coordenadas esféricas por:
\( \rho = a(r - b) \quad \textrm{ en } r < R \quad ; \rho =
0 \quad \textrm{ en } r > R \)
Con a, b y R constantes.
Calcular b de modo que la energía potencial del sistema
sea mínima.
Respuesta al ejercicio 20
Para el cálculo de la energía potencial vamos a
emplear la expresión:
\( \displaystyle U = \int \limits_V \frac{1}{2}· \varepsilon_0
· E^2 · d V \)
El campo eléctrico en el interior de una esfera de radio
r < R será, de acuerdo al teorema de Gauss:
\( \displaystyle 4 \pi r^2 · E = \frac{4 \pi}{\varepsilon_0}\int
\limits_0^r a(r-b)r^2 dr \Rightarrow E = \frac{a}{12·\varepsilon_0}(3r^2
- 4b·r) \)
Y en el exterior:
\( \displaystyle 4 \pi · r^2 E = \frac{4 \pi}{\varepsilon_0}\int
\limits_0^R a(r-b)r^2 dr \Rightarrow E = \frac{a}{12·\varepsilon_0}·
\frac{(3R^2 - 4b·R^3) }{r^2} \)
Por lo que para la energía potencial tendremos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
U = 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2
\left[\int \limits_0^R (3r^2 - 4b·r)^2 r^2·dr
+ \right]+ \\
\\
+ 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2
\left[ \int \limits_0^R \frac{(3R^4 - 4b·R^3)^2}{r^4}·
r^2·dr \right]
\end{array}\)
Realizando las integrales y simplificando:
\( \displaystyle U = 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2
\left[ \frac{72}{7} R^7 + \frac{96·b^2}{5} R^5 - \frac{168·b}{6}
R^6 \right] \)
Para que esta energía sea mínima en función
de b, la derivamos respecto a dicho parámetro:
\( \displaystyle\begin{array}{l}
\frac{d U}{db} = 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2 \left[ \frac{192·b}{5}·R^5 - \frac{168}{6}·R^6 \right] = 0 \Rightarrow \\
\\
\frac{192}{5}·b - \frac{168}{6}·R = 0
\end{array} \)
Con lo que, finalmente resulta:
\( \displaystyle b = \frac{5 \times 168}{192 \times 6}·R = \frac{35}{48}·R
\)
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