PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electromagnetismo

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de electromagnetismo

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Ejercicios resueltos

Ejercicios de Electromagnetismo

Se considera una distribución cúbica de carga en coordenadas esféricas por:
    \( \rho = a(r - b) \quad \textrm{ en } r < R \quad ; \rho = 0 \quad \textrm{ en } r > R \)
Con a, b y R constantes.

Calcular b de modo que la energía potencial del sistema sea mínima.

Respuesta al ejercicio 20

Para el cálculo de la energía potencial vamos a emplear la expresión:
    \( \displaystyle U = \int \limits_V \frac{1}{2}· \varepsilon_0 · E^2 · d V \)
El campo eléctrico en el interior de una esfera de radio r < R será, de acuerdo al teorema de Gauss:
    \( \displaystyle 4 \pi r^2 · E = \frac{4 \pi}{\varepsilon_0}\int \limits_0^r a(r-b)r^2 dr \Rightarrow E = \frac{a}{12·\varepsilon_0}(3r^2 - 4b·r) \)
Y en el exterior:
    \( \displaystyle 4 \pi · r^2 E = \frac{4 \pi}{\varepsilon_0}\int \limits_0^R a(r-b)r^2 dr \Rightarrow E = \frac{a}{12·\varepsilon_0}· \frac{(3R^2 - 4b·R^3) }{r^2} \)
Por lo que para la energía potencial tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    U = 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2 \left[\int \limits_0^R (3r^2 - 4b·r)^2 r^2·dr + \right]+ \\
    \\
    + 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2 \left[ \int \limits_0^R \frac{(3R^4 - 4b·R^3)^2}{r^4}· r^2·dr \right]
    \end{array}\)
Realizando las integrales y simplificando:
    \( \displaystyle U = 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2 \left[ \frac{72}{7} R^7 + \frac{96·b^2}{5} R^5 - \frac{168·b}{6} R^6 \right] \)
Para que esta energía sea mínima en función de b, la derivamos respecto a dicho parámetro:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \frac{d U}{db} = 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2 \left[ \frac{192·b}{5}·R^5 - \frac{168}{6}·R^6 \right] = 0 \Rightarrow \\ \\ \frac{192}{5}·b - \frac{168}{6}·R = 0 \end{array} \)
Con lo que, finalmente resulta:
    \( \displaystyle b = \frac{5 \times 168}{192 \times 6}·R = \frac{35}{48}·R \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás