Ejercicios de Electromagnetismo
Encontrar las soluciones con variables separadas de la ecuación
de Laplace en coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio
bidimensional. Aplicar el resultado al cálculo del potencial
en el interior de un rectángulo de 3 x 2 cm en el cual
tres lados están a potencial nulo y el cuarto a cuatro
voltios.
Respuesta al ejercicio 7
Para resolver el problema ensayamos soluciones de la forma \(\phi(x,
y) = X(x)·Y(y) \) por lo cual :
\( \displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2
\phi}{\partial y^2} \Rightarrow Y(y)·\frac{d^2 \phi}{d x^2}
+ X(x)·\frac{d^2 \phi}{d y^2} \)
Y separando variables:
\( \displaystyle\frac{X^{\prime \prime}}{X} + \frac{Y^{\prime
\prime}}{Y} \Rightarrow \frac{X^{\prime \prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime
\prime}}{Y} = - \lambda \quad \left\{\begin{array}{l} X^{\prime
\prime} + \lambda · X = 0 \\ \\ Y^{\prime \prime} - \lambda
· Y = 0 \end{array}\right. \)
El primer miembro de la ecuación final depende de x. El
segundo es independiente de x. En esas condiciones podemos igualar
ambas expresiones a una constante y escribir lo puesto. Dependiendo
del parámetro obtenemos distintas soluciones para la ecuación
del enunciado. La forma de dichas soluciones depende del dominio
sobre el que está definida la ecuación. En el caso
que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y <
3 con las siguientes condiciones
Φ (x,0) = 4 ; Φ (2, y) = 0 ; Φ (x, 3)
= 0 ; Φ (0, y) = 0.
Consideramos entonces soluciones para la ecuación en X
que satisfagan las condiciones :
\( \begin{array}{l} X^{\prime \prime} + \lambda · X = 0 \textrm{
con } X(0) = X(2) = 0 \rightarrow \\ \\ \rightarrow X = C_1
· e^{+ \sqrt{-\lambda}·X} + C_1 · e^{- \sqrt{-\lambda}·X} \end{array}\)
Dadas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar
valores \( \lambda > 0 \), con lo que podemos poner :
\( X = A· \sin \sqrt{\lambda}·x + B· \cos \sqrt{\lambda}·x \)
X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos \(0 = A· \sin 2\sqrt{\lambda}
\) y para que X(x) no sea idénticamente nula podemos tomar
:
\( \sin 2\sqrt{\lambda} = 0 \rightarrow 2\sqrt{\lambda} n· \pi
\rightarrow \lambda = (n/2)^2 \pi^2 \quad n = 1,2,3,··· \)
Con ese valor de \( \lambda \) , encontramos para la ecuación
en Y :
\( \displaystyle \begin{array}{l} Y^{\prime \prime} + \left(\frac{n
· \pi}{2}\right)^2·Y = 0 \quad ; \quad \textrm{ con } Y(3) =
0 \rightarrow \\ \\ Y = C_1·e^{+(n· \pi/2)y} + C_2·e^{-(n· \pi/2)y}
= \\ \\ = - C_1·e^{3n \pi/2}· \sinh \left(\frac{n· \pi}{2}\right)(3-y)
\end{array} \)
En esas condiciones tenemos para Φ las soluciones particulares
\( \displaystyle \phi_n (x, y) = \sin \left[\left(\frac{n· \pi}{2}\right)x
\right]· \sinh \left[\left(\frac{n· \pi}{2}\right)(3-y)\right]
\)
por lo que podemos intentar representar la solución general
mediante la serie de funciones :
\( \displaystyle \phi (x, y) = \sum \limits_{n=1}^\infty C_n
\sin \left[\left(\frac{n· \pi}{2}\right)x \right]· \sinh \left[\left(\frac{n·
\pi}{2}\right)(3-y)\right]\)
\( \displaystyle \textrm{ con } \phi (x, 0) = \sum \limits_{n=1}^\infty
C_n \sin \left[\left(\frac{n· \pi}{2}\right)x \right]· \sinh
\left[3 \left(\frac{n· \pi}{2}\right)\right] = 4 \)
y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función
f(x) = 4. Para ello tenemos :
\( \displaystyle b_n = \frac{C_n}{\sinh \frac{3}{2} \pi n} =
\frac{2}{2} \int \limits_0^2 4\sin \frac{n \pi x}{2} ·dx = -
\frac{8}{\pi n}[(-1)^n - 1] \)
y, finalmente :
\( \displaystyle \phi (x, y) = - \frac{8}{\pi} \sum \limits_{n=1}^\infty
\frac{\sinh [k \pi (3-y)]}{k · \sinh (3k \pi)}· \sin (k \pi
x) \quad \textrm{ con } k = n/2 \)