Ejercicios de Electromagnetismo
Sobre una capa semiesférica de radio R, tenemos una distribución
de carga uniforme \( \sigma = 1 \; C/m^2 \) . Calcular el campo
en el centro de la esfera coincidente con la carga.
Respuesta al ejercicio 2
Vamos a considerar que dividimos la semiesfera en meridianos y
paralelos, de tal modo que se forme una red constituida por elementos
como el representado en la figura adjunta.
Por la simetría del problema, las componentes perpendiculares
al eje OA se anulan dos a dos y sólo tendrán efecto
las componentes tangenciales a dicho eje. Podemos suponer entonces
que el valor del campo eléctrico en el punto O será
:
\( \displaystyle E = \frac{1}{4 ˇ \pi ˇ \varepsilon_0} \int
\limits_S \frac{d q}{R^2} ˇ \cos \theta = \frac{1}{4 ˇ \pi ˇ
\varepsilon_0} \int \limits_S \frac{ \sigma ˇ dS} {R^2}ˇ \cos
\theta \)
Siendo R el radio de la esfera coincidente con el hemisferio y
dq la carga contenida en el elemento diferencial dS, que vale:
\( dS = Rˇd\theta (Rˇ \sin \theta) d\varphi = R^2 ˇ \sin \theta
d\theta d\varphi \)
donde \( \varphi \; y \; \theta \) son, respectivamente, el ángulo
polar y la colatitud de la esfera. En esas condiciones, sustituyendo
en la
anterior expresión, tendremos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
E = \frac{ \sigma}{4 · \pi · \varepsilon_0} \iint
\limits_S \frac{R^2 · \sin \theta ·d \theta ·
d\varphi}{R^2} · \cos \theta = \\
\\
= \frac{ \sigma}{4 · \pi · \varepsilon_0} \iint
\limits_S \sin \theta · \cos \theta ·d \theta
· d\varphi
\end{array}\)
y considerando que los límites de integración para
las variables que estamos considerando son :
\( 0 \leq \theta \leq \pi /2 \; ; \; 0 \leq \varphi \leq 2\pi
\)
nos queda:
\( \displaystyle E = \frac{ \sigma}{4 ˇ \pi ˇ \varepsilon_0}
\int \limits_0^{2 \pi} d \varphi \int \limits_0^{\pi /2} \sin
\theta ˇ \cos \theta ˇd \theta = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\left[\frac{1}{2}ˇ
\sin ^2 \theta \right]_0^{ \pi /2} = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}
\)
que es el valor del campo eléctrico en el punto O.
Sustituyendo los valores de la densidad de carga y de la constante
dieléctrica se obtiene el resultado numérico buscado.