PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electricidad y magnetismos

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Ejercicios resueltos

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Una esfera conductora de radio \( r_1 \) tiene una cavidad central de radio \( r_2 \). En el centro de la cavidad hay una carga Q. Hallar la carga sobre la superficie interna y externa del conductor. Calcular el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.

Respuesta al ejercicio 90

Para obtener las cargas sobre las superficies aplicamos el teorema de Gauss tomando como superficie gaussiana la punteada en la figura
Una esfera conductora de radio \( r_1 \) tiene una cavidad central de radio \( r_2 \)

Podemos poner así:
    \( \displaystyle \int \vec{E}·d\vec{S} = \frac{Q_d}{\varepsilon_o} = (por\;ser\;conductor) = 0 \Rightarrow Q_d = 0 \)
Deducimos así que la superficie interna tiene -Q culombios y la externa +Q culombios.
El campo eléctrico en las distintas situaciones que pueden presentarse valdrá:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    para\; r > R_1\qquad E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\left(\frac{Q}{r^2}- \frac{Q}{r^2} + \frac{Q}{r^2}\right)= \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}·\frac{Q}{r^2} \\
     \\
    para\; R_2<r' < R_1\qquad E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\left(\frac{Q}{r'^2}- \frac{Q}{r'^2} \right)= 0 \\
     \\
    para r" < R_2 \qquad E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}·\frac{Q}{r"^2} \\
    
    \end{array} \)
El resultado para \( R_2 < r' < R_1\) era de esperar, puesto que estamos en el seno de un conductor, y al estar este en equilibrio no puede haber campo eléctrico.
Análogamente podemos hacer para los potenciales:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    para\; r > R_1\qquad \phi = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\left(\frac{Q}{r}- \frac{Q}{r} + \frac{Q}{r}\right)= \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}·\frac{Q}{r} \\
     \\
    para\; R_2<r' < R_1\qquad \phi = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\left(\frac{Q}{r'}- \frac{Q}{r'} +\frac{Q}{R_1}\right)= \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}·\frac{Q}{R_1} = Cte. \\
    
    \end{array} \)
Finalmente, para \( R_2 > r" \) el potencial será:
    \( \displaystyle \phi = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\left(\frac{Q}{r}- \frac{Q}{R_2}+ \frac{Q}{R_1}\right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\left[\frac{Q}{r}+\left( \frac{Q}{R_1} - \frac{Q}{R_2}\right)\right] \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás