PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electricidad y magnetismos

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Ejercicios resueltos

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Una esfera conductora aislada, de radio R, tiene una densidad superficial de carga, \( \sigma \). Determinar su energía potencial eléctrica considerando,
    a) la distribución de cargas.
    b) energía asociada al campo eléctrico.
Respuesta al ejercicio 89

En el primer caso la energía viene dada por:
    \( \displaystyle U = \frac{1}{2}\int_S \phi·\sigma dS \)
Y tenemos:
    \( \displaystyle \phi = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_oR} = \frac{\sigma 4\pi R^2}{4\pi \varepsilon_oR} = \frac{\sigma·R}{\varepsilon_o} \)
Con lo que resultará:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    U = \frac{1}{2}\int_S\frac{\sigma^2·R}{\varepsilon_o} dS = \frac{1}{2}·\frac{\sigma^2R}{\varepsilon_o}\int_S dS = \\
     \\
    =\frac{\sigma^2R}{2\varepsilon_o}·4\pi R^2 = \frac{2\pi·\sigma^2}{\varepsilon_o}·R^3 \\
    
    \end{array}\)
Para aplicar el segundo método tenemos:
    \( \displaystyle U = \frac{1}{2}\int_\infty\varepsilon_o·E^2·dV \)
Con
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o r^2} = \frac{4\pi R^2 \sigma}{4\pi \varepsilon_o r^2} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_o r^2} \\
     \\
    V = \frac{4}{3}·\pi·r^3 \Rightarrow dv = 4\pi·r^2·dr \\
    
    \end{array} \)
Y de ahí resultará:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    U = \frac{1}{2}\int_\infty \varepsilon_o\left(\frac{\sigma R^2}{\varepsilon_o r^2}\right)^2 4\pi·r^2·dr = \frac{1}{2}\int_{R}^{\infty}\frac{4\pi \sigma^2·R^2}{\varepsilon_o}·\frac{dr}{r^2} = \\
     \\
    = \frac{2\pi \sigma^2·R^2}{\varepsilon_o}\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^2} = \frac{2\pi \sigma^2·R^2}{\varepsilon_o}\left[-\frac{1}{r}\right]_{R}^{\infty} = \frac{2\pi·\sigma^2}{\varepsilon_o}·R^3 \\
    
    \end{array} \)
Valor que coincide con el anterior.
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás