PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electricidad y magnetismos

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Ejercicios resueltos

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Una varilla dieléctrica que tiene forma de cilindro circular de longitud L y radio R, se polariza en la dirección de su longitud. La polarización es uniforme y de magnitud P, calcular el campo que resulta en un punto del eje de la varilla.

Nota.- El campo eléctrico creado por una placa circular vale:

    \( \displaystyle E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left[1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+r^2}}\right] \)
Respuesta al ejercicio 86

La densidad volúmica de carga inducida será:
    \( \rho_i = - div\; \vec{P} = 0 \)
Por ser \( |P| = Cte. \)
La densidad superficial valdrá:
    \( \sigma_i = \vec{P}·\vec{n} \)
Y en cada una de las superficies, teniendo en cuenta la figura,
Una varilla dieléctrica que tiene forma de cilindro circular de longitud L y radio R
tenemos:
    \( \left\{
    \begin{array}{l}
    Superficie\;lateral\quad \sigma_i = 0,\;por\;ser \; \vec{P}\perp \vec{n} \\
     \\
    Superficie\quad (1)\quad \sigma_i = \vec{P}·\vec{n} = -P \\
     \\
    Superficie\quad (2)\quad \sigma_i = \vec{P}·\vec{n} = P \\
     \\
    \end{array}
    \right. \)
Podemos sustituir el campo creado por la varilla por el creado por las dos placas (1) y (2) con densidades superficiales de carga \( -P\quad y\quad P \) respectivamente.
Por el dato del problema sabemos que el campo eléctrico creado por una placa circular vale:
    \( \displaystyle E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left[1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right] \)
Por consiguiente, en este caso tendremos:
    \( \displaystyle E_1 = \frac{P}{2\varepsilon_o}\left[1 - \frac{z- \frac{1}{2}·L}{\sqrt{\left(z - \frac{1}{2}\right)^2+R^2}}\right]\quad ; \quad E_2 = \frac{P}{2\varepsilon_o}\left[1 - \frac{z+ \frac{1}{2}·L}{\sqrt{\left(z + \frac{1}{2}\right)^2+R^2}}\right] \)
Y el campo total debido a las dos placas será:
    \( \displaystyle E_T = \frac{P}{2\varepsilon_o}\left[ \frac{z- \frac{1}{2}·L}{\sqrt{\left(z - \frac{1}{2}\right)^2+R^2}} - \frac{z+ \frac{1}{2}·L}{\sqrt{\left(z + \frac{1}{2}\right)^2+R^2}}\right]\)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás