Ejercicios de electricidad y magnetismo
Una esfera conductora flota sumergida por la mitad en un medio
dieléctrico liquido de permitividad \( \varepsilon_1 \),
la región superior un gas de permitividad \( \varepsilon_2
\). La carga libre total sobre la esfera es Q.
El campo eléctrico radial dependiente del inverso del cuadrado,
que satisfaga todas las condiciones en las fronteras y determine
se las densidades de carga libre latente y total en todos los
puntos sobre la esfera.
Respuesta al ejercicio 70
Dame la simetría del problema, la expresión general
del potencial será:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\phi(r,\theta) = A_o + A_1r·\cos \theta + A_2r^2\frac{1}{2}(3
\cos^2 \theta - 1) + ... \\
\\
... + B_o\frac{1}{r} + B_1\frac{1}{r^2}\cos \theta + B_2\frac{3\cos^2\cos
\theta - 1}{2r^2} + ...
\end{array} \)
Y en cada uno de los medios tendremos respectivamente:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\phi_1 = A_o + B_o\frac{1}{r} + A_1r_1·\cos \theta +
B_1\frac{1}{r^2}\cos \theta + ... \\
\\
\phi_2 = A'_o + B'_o\frac{1}{r} + A'_1r_1·\cos \theta
+ B'_1\frac{1}{r^2}\cos \theta + ...
\end{array}\)
Para que no aumente el potencial en el infinito se tendrá
\( A_1 = A'_1 = 0\). Análogamente si el potencial lo tomamos
nulo en el infinito deberá ser \( A_o = A'_o = 0\), y queda:
\( \displaystyle \phi_1 =B_o\frac{1}{r}+ B_1\frac{1}{r^2}\cos
\theta + ...\quad ;\quad \phi_2 =B'_o\frac{1}{r} +B'_1\frac{1}{r^2}\cos
\theta + ... \)
Por otra parte, potencial en la esfera es constante por lo que
tenemos \( \phi_1 =\phi_2 \) y de ahí:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
B_o + B_1\frac{1}{R}\cos \theta = B'_o + B'_1\frac{1}{R}\cos
\theta \\
\\
(B_o - B'_o) = \frac{\cos \theta}{R}(B'_1 - B_1) \rightarrow
R(B_o -B'_o) = (B_1 - B'_1)\cos \theta
\end{array} \)
Esta última expresión debe cumplirse para cualquier
valor de \( \theta \) por lo que se tendrá \( \theta B'_1
= B_1 \quad ; \quad B'_o = B_o \) y así:
\( \displaystyle \phi_1 =B_o\frac{1}{r}+ B_1\frac{1}{r^2}\cos
\theta + ...\quad ;\quad \phi_2 =B_o\frac{1}{r} +B_1\frac{1}{r^2}\cos
\theta + ... \)
El infinito en potencial solo puede depender de 1/r, por lo que:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\phi_1 = E_1·r = \frac{D_1}{\varepsilon_1}·r =
\frac{\sigma_1}{\varepsilon_1}·r = \frac{B_o}{r}\rightarrow
\\
\\
\sigma_1 = \frac{\varepsilon_1 B_o}{r^2} \quad ; \quad \sigma_2
= \frac{\varepsilon_2 B_o}{r^2}
\end{array} \)
Y por el principio de conservación de la carga:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
Q = \sigma_1·2\pi r^2 + \sigma_2·2\pi r^2 = 2\pi
r^2 \left(\frac{\varepsilon_1 B_o}{r^2} + \frac{\varepsilon_2
B_o}{r^2}\right)\rightarrow \\
\\
\Rightarrow B_o = \frac{Q}{2\pi(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}
\end{array} \)
Así pues, tenemos que es la expresión final de potencial
será de otra forma:
\( \displaystyle \phi = \frac{Q}{2\pi(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}·\frac{1}{r}
\)
Y el campo eléctrico vendrá dado por:
\( \displaystyle E = - rad\quad\phi = \frac{Q}{2\pi(\varepsilon_1
+ \varepsilon_2)}·\frac{1}{r^2} \)
Con lo que hemos visto deducir las densidades de carga libre:
\( \displaystyle\begin{array}{l}
\sigma_{1_R} = \frac{\varepsilon_1B_o}{R^2} = \frac{\varepsilon_1Q}{2\pi(\varepsilon_1
+ \varepsilon_2)R^2} \\
\\
\sigma_{2_R} = \frac{\varepsilon_2B_o}{R^2} = \frac{\varepsilon_2Q}{2\pi(\varepsilon_1
+ \varepsilon_2)R^2}
\end{array} \)
Y teniendo en cuenta que las polarizaciones se pueden expresar
por:
\( \vec{P} = \vec{D} - \varepsilon_o\vec{E} = \varepsilon \vec{E}
- \varepsilon_o \vec{E} = (\varepsilon - \varepsilon_o)\vec{E}\quad
;\quad \sigma'_i = \vec{P}·\vec{n}_i = - P_i \)
Tenemos las densidades superficiales de carga ligada:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\sigma'_1 = - (\varepsilon_1 - \varepsilon_o)\frac{Q}{2\pi (\varepsilon_1
+ \varepsilon_2)}·\frac{1}{R^2} \\
\\
\sigma'_2 = - (\varepsilon_2 - \varepsilon_o)\frac{Q}{2\pi (\varepsilon_1
+ \varepsilon_2)}·\frac{1}{R^2}
\end{array} \)
Y para las ciudades superficiales totales:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\sigma_1^T = \sigma'_1 + \sigma_1= \frac{\varepsilon_o}{2\pi
(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}·\frac{Q}{R^2} \\
\\
\sigma_2^T = \sigma'_2 + \sigma_2= = \frac{\varepsilon_o}{2\pi
(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}·\frac{Q}{R^2}
\end{array} \)