PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electricidad y magnetismos

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Ejercicios resueltos

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Dos esferas concéntricas de radios \( R\quad y \quad 2R \) se ponen a potencial cero y en el espacio comprendido entre ambas se introducen una distribución de carga cuya densidad viene dada por:
    \( \displaystyle \rho(r) = \rho_o\left(1 + \frac{R^2}{r^2}\right)Cul/cm^3 \)
Siendo r la distancia al centro de las esferas. determinar el valor de la carga que toma la esfera Interior.

Respuesta al ejercicio 65

Para resolver el problema consideramos la ecuación de Poisson en coordenadas polares:
    \( \displaystyle \triangle \phi = \frac{\rho(r)}{\varepsilon}\Rightarrow \frac{1}{r^2}·\frac{d}{dr}\left(r^2·\frac{d\phi}{dr}\right)= -\frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(1 + \frac{R^2}{r^2}\right) \)
Y simplificando:
    \( \displaystyle \frac{d}{dr}\left(r^2·\frac{d\phi}{dr}\right)= -\frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(r^2 + R^2\right) \)
Por una primera integración tenemos:
    \( \displaystyle r^2·\frac{d\phi}{dr} = - \frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(\frac{r^3}{3}+ R^2·r\right)+ A \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d\phi}{dr}= - \frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(\frac{r}{3}+ \frac{R^2}{r}\right)+ \frac{A}{r^2}\Rightarrow \phi = \\
     \\
    \phi = - \frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(\frac{r^2}{6}+ R^2·\ln r\right)-\frac{A}{r}+ B
    \end{array} \)
Sabiendo que

condiciones de contorno

las condiciones de contorno son:
    \( \phi = 0 \quad en \quad r = R \quad y \quad r = 2R \)
Tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    0 = - \frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(\frac{R^2}{6}+ R^2·\ln R\right)-\frac{A}{R}+ B \\
     \\
    0 = - \frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(\frac{4·R^2}{6}+ R^2·\ln 2R\right)-\frac{A}{2R}+ B
    \end{array} \)
No es necesario que tengamos el valor de B por lo que ponemos:
    \( \displaystyle A = \frac{\rho_o}{\varepsilon}·R^3(1+2·\ln 2) \)
Y el campo eléctrico valdrá:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \vec{E} = -\frac{d\phi}{dr} = \frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(\frac{r}{3}+\frac{R^2}{r}\right)- \frac{A}{r^2}= \\
     \\
    = \frac{\rho_o}{\varepsilon}\left(\frac{r}{3}+ \frac{R^2}{r}- \frac{R^3}{r^2} - 2·\frac{R^3}{r^2}·\ln 2\right)
    \end{array} \)
Con lo que el vector desplazamiento vendrá dado por:
    \( \displaystyle \vec{D} = \varepsilon·\vec{E} = \rho_o\left(\frac{r}{3}+ \frac{R^2}{r}- \frac{R^3}{r^2} - 2·\frac{R^3}{r^2}·\ln 2\right) \hat{u}_r \)
Aplicando las condiciones de contorno a la superficie de la esfera Interior tendremos:
    \( \rho_s = (\vec{D}_1- \vec{D}_2)\hat{n} = \vec{D}_1·\hat{n} \)
Pues \( \vec{D}_2 \) es nulo por tratarse de un metal.
Sabiendo que \( \vec{D}_1 \) es el valor de \( \vec{D} \) cuándo \( r=R \) nos queda:
    \( \displaystyle \vec{D}_1 = \rho_o·R\left(\frac{1}{3}- 2·\ln 2\right)\hat{u}_r \Rightarrow \rho_s =\rho_o·R\left(\frac{1}{3}- 2·\ln 2\right) \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle Q = 4·\pi·R^2·\rho_s = 4·\pi·\rho_o·R^3\left(\frac{1}{3}- 2·\ln 2\right)\quad Culombios \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás