PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electricidad y magnetismos

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Ejercicios resueltos

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Entre dos placas metálicas, paralelas indefinidas, separadas a una distancia \( d \), existe una distribución uniforme de carga de densidad \( \rho\quad Cul/m^3 \). Las placas se encuentran a potencial cero. Calcular los valores máximos del campo y del potencial y el punto en el que se producen.

Respuesta al ejercicio 64

Para resolver el problema aplicaremos la ecuación de Poisson:
    \( \displaystyle \triangle \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon} = \frac{d^2\phi}{dx^2} \)
Una primera integración tenemos:
    \( \displaystyle \frac{d\phi}{dx} = - \frac{\rho}{\varepsilon}·x + C_1 \Rightarrow \phi = -\frac{\rho}{2\varepsilon}·x^2 + C_1·x + C_2
    \)
Las constantes \( C_1\quad y \quad C_2 \) calcularemos a partir de las condiciones de contorno que son:
    \( \phi = 0 \quad en\; x = 0 \qquad ;\qquad \phi = 0\quad en\; x = d \)
Y haciendo cálculos resulta:
    \( \displaystyle C_2= 0\quad ;\quad C_1 = \frac{\rho·d}{2\varepsilon} \Rightarrow \phi = \frac{\rho}{2\varepsilon}(d·x - x^2) \)
Puesto que el valor del campo eléctrico viene dado por \( \vec{E} = - Grad \phi \), tendremos:
    \( \displaystyle \vec{E} = - Grad \phi = -\frac{d\phi}{dx}·\hat{u}_x = \frac{\rho}{2\varepsilon}(2·x - d)·\hat{u}_x \)
Para hallar el potencial máximo haremos:
    \( \displaystyle \frac{d\phi}{dx}= 0 = \frac{\rho}{2\varepsilon}(2·x - d)\Rightarrow x =\frac{d}{2} \)
Por lo tanto, potencial máximo estará en el punto dado y su valor será:
    \( \displaystyle \phi_\max = \frac{\rho·d^2}{8·\varepsilon} \)
El campo eléctrico no tiene en este caso extremos relativos como, máximo vendrá todo en los puntos \( x=0 \quad y \quad x=d \). En ambos casos se tendrá:
    \( \displaystyle |E_\max| = \frac{\rho·d}{2·\varepsilon} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás