Ejercicios de electricidad y magnetismo

Una línea hilidex consta de dos tubos paralelos e indefinidos, cargados con \( \lambda \quad y\quad -\lambda \) situados a una distancia \( 2a \) el uno del otro. Hallar el potencial y el campo.

Respuesta al ejercicio 63

Aplicamos el teorema de Gauss para un cilindro de longitud \( l \), cuyo eje sea el tubo positivo:

\( \displaystyle 2·\pi·r_2·l·D_2 = \lambda·l \Rightarrow D_2 = \frac{\lambda}{2\pi r_2} \)

Tenemos así el campo debido al tubo positivo. Análogamente para el tubo negativo:

\( \displaystyle D_1 = \frac{\lambda}{2\pi r_1} \)

A partir de estos valores, las intensidades el campo eléctrico para cada uno de ellos serán:

\( \displaystyle E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon·r_2}\quad ;\quad E_1 = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon·r_1} \)

Los potenciales respectivos valdrán:

\( \displaystyle \phi_2 = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon}·\ln r_2 + C_2\quad ;\quad \phi_1 = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon}·\ln r_1 + C_1 \)

Con lo que el potencial en el punto P, debido a los hilos será:

\( \displaystyle \phi = \phi_1 + \phi_2 = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon}·\ln \frac{r_1}{r_2}+ C \)

Por la simetría del problema, el potencial será nulo cuando \( r_1=r_2 \) y, por tanto C = 0. Expresando \( r_1\quad y \quad r_2 \) en función de las coordenadas de P tenemos:

\( \displaystyle \phi = \frac{\lambda}{2·\pi ·\varepsilon}·\ln \frac{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}= \frac{\lambda}{4·\pi ·\varepsilon}·\ln \frac{(x-a)^2+y^2}{(x+a)^2+y^2}\)

Cómo \( \vec{E} = - Grad\: \phi \):

\( \displaystyle E_x = - \frac{\partial \phi}{\partial x} = - \left(\frac{\partial \phi}{\partial r_1}·\frac{\partial r_1}{\partial x}+ \frac{\partial \phi}{\partial r_2}·\frac{\partial r_2}{\partial x}\right) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon}\left(\frac{x+a}{r_2^2} - \frac{x-a}{r_1^2}\right) \)

Y análogamente:

\( \displaystyle E_y = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon}\left(\frac{1}{r_2^2} - \frac{1}{r_1^2}\right)y \)