PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Se considera una distribución superficial de carga en una superficie esférica de radio R y centro en el origen, oficial viene dada en coordenadas esféricas por:
    \( \sigma = \sigma_o·\cos \theta\qquad (\sigma_o = cte.) \)
Calcular la fuerza sobre una carga puntual q situada en el eje Z, para los casos:
    \( a)\qquad |Z| > R\qquad b)\qquad |Z|<R \)

Respuesta al ejercicio 59

Calculamos primero el potencial de la esfera en un punto exterior interior de esta, respectivamente. Tenemos según eso:
    \( \displaystyle \phi = \frac{\sigma_o·dS}{4\pi \varepsilon_o·r} = \int_{0}^{\pi}\frac{\sigma_o·\cos \theta}{4\pi \varepsilon_o·r}·2\pi·r'R·d\theta = \int_{0}^{\pi}\frac{\sigma_oR^2}{4\pi \varepsilon_or}·\sin \theta \cos\theta d\theta \)
Dónde hemos puesto \( r' = R·\sin \theta \).
Tomando para r el valor:
    \( r = \sqrt{R^2+z^2-2R·z·\cos \theta} \)
La integral toma la forma:
    \( \displaystyle \phi = \frac{\sigma_oR^2}{2\varepsilon_o}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta ·\cos \theta d\theta}{\sqrt{R^2+z^2-2R·z·\cos \theta}} \)
y haciendo el cambio de variable \( \cos \theta = t \), tenemos:

    \( \displaystyle \phi = \frac{\sigma_oR^2}{2\varepsilon_o}\int_{0}^{\pi}\frac{t·dt}{\sqrt{R^2+z^2-2R·z·t}} \)
Resolviendo tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \phi = \frac{\sigma_oR^2}{2\varepsilon_o}\left[\frac{2[-2Rz·t - 2(R^2+z^2)]}{3(-2Rz)^2}\sqrt{R^2+z^2-2R·z·t}\right]_{1}^{2} = \\
     \\
    = \frac{\sigma_o}{6\varepsilon_o·z^2}\left[(R^2+z^2+Rz·\cos \theta)\sqrt{R^2+z^2 -2Rz·\cos \theta}\right]_{0}^{\pi}= \\
     \\
    = \frac{\sigma_o}{6\varepsilon_o·z^2}\left[(R^2+z^2+Rz)(R+z)-(R^2+z^2+Rz)(R-z)\right]
    \end{array} \)
Para \( |z|<R \) será R-z positivo, con lo que simplificando la expresión obtenida tendremos:
    \( \displaystyle \phi_{in} = \frac{\sigma_o}{6\varepsilon_oz^2}\left[(R^3+z^3)-(R^3-z^3)\right] = \frac{\sigma_o z}{3\varepsilon_o} \)
Para \( |z|>R \)
distribución superficial de carga en una superficie esférica

será R-z negativo y podemos poner:
    \( \displaystyle \phi_{ex}= \frac{\sigma_o}{6\varepsilon_oz^2}\left[(R^3+z^3)+(R^3-z^3)\right] = \frac{\sigma_o R^3}{3\varepsilon_o} \)
Cada uno de los casos, el campo eléctrico producido y la fuerza ejercida sobre una partícula puntual vendrán dados por las expresiones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \vec{E}_{in} = -\frac{\partial \phi}{\partial z}= -\frac{\sigma_o}{3\varepsilon_o}·\hat{k} \Rightarrow \vec{F}_{in}= -\frac{\sigma_oq}{3\varepsilon_o}·\hat{k} \\
     \\
    \vec{E}_{exn} = \frac{2\sigma_o·R^3}{3\varepsilon_o·z^3}·\hat{k} \Rightarrow \vec{F}_{ex}= \frac{2\sigma_oq·R^3}{3\varepsilon_o·z^3}·\hat{k}
    \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás