PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Se considera una distribución cúbica de carga uniforme de densidad \( \rho_o \) en el interior de un cilindro de radio R y altura R. Eje del cilindro y a una altura 3R/4 club de su base inferior se coloca una carga puntual q. Calcular la fuerza que obra sobre q.

Respuesta al ejercicio 57

El problema lo resolvemos calculando en primer lugar el campo eléctrico producido por un disco de radio R en un punto situado sobre su eje.
En este caso resulta más fácil calcular el potencial. El disco está dividido en coronas circulares de anchura dr. Cada una de estas bandas tendrá una carga dq, por lo que el potencial sobre un punto P del eje del disco será:
    \( \displaystyle \phi = \frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\int_{1}^{2}\frac{dq}{r'}= \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_o}\int_{1}^{2}\frac{dS}{r'} \)
Pero se cumple:
    \( dS = 2\pi ·r·dr\qquad ; \qquad r' = \sqrt{z^2 + r^2} \)
Con lo que tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_o}\int_{1}^{2}\frac{2\pi·r·dr}{\sqrt{z^2+r^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\int_{0}^{R}\frac{r·dr}{\sqrt{z^2+r^2}} = \\
     \\
    = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left[\sqrt{z^2+r^2}\right]_0^R = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left(\sqrt{R^2 + z^2}- z^2\right)
    \end{array} \)
El campo eléctrico en la dirección del eje vendrá dado entonces por:
    \( \displaystyle E_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left(\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}-1}\right)= \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) \)
A partir de aquí podemos considerar dos cilindros distintos de tal modo que podemos calcular el campo producido por cada uno de ellos separadamente aplicando la expresión anterior.
Las contribuciones de ambos cilindros estarán sobre la misma línea, pero serán antiparalelas, por lo que tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = \int_{0}^{3R/4}\frac{\rho}{2\varepsilon_o}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)dz - \int_{0}^{R/4}\frac{\rho}{2\varepsilon_o}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)dz \\
     \\
    = \frac{\rho}{2\varepsilon_o}\left\{\left[z - \sqrt{z^2-R^2}\right]_{-R/4}^{3R/4}\right\} =\frac{\rho·R}{8\varepsilon_o}(-3+\sqrt{17})
    \end{array}\)
De ahí podemos obtener sin dificultad la fuerza sobre la carga:
    \( \displaystyle F = q·E = \frac{\rho·R·q}{8\varepsilon_o}(-3+\sqrt{17}) \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás