PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Calcular a qué distribución de carga es debido un campo eléctrico que viene dado en coordenadas cilíndricas por:
    \( \displaystyle \left\{
    \begin{array}{l}
    \vec{E} = \frac{A}{r}·\hat{u}_r\quad en \quad r<R \\
     \\
    \vec{E} = \frac{B}{r}·\hat{u}_r,\quad en \quad r>R \\
    \end{array}
    \right. \)
Siendo A y B dos constantes diferentes.

Respuesta al ejercicio 55

Aplicando el teorema de Gauss en forma diferencial y teniendo en cuenta que E solo depende de r, tenemos:
    \( \displaystyle Div \; \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_o}\quad ; \quad Div \; \vec{E} =\frac{1}{r}·\frac{\partial}{\partial r}\left(r·\frac{A}{r}\right)= 0 \rightarrow \rho = 0 \)
Por lo tanto, el canpo no es debido una distribución cubica de carga.
Si la distribución fuese superficial tendríamos:
    \( \displaystyle \int_S \vec{E}·d\hat{S} = \frac{1}{\varepsilon_o}\int \sigma·dS \)

Y tomando como superficie un cilindro de radio R, entonces \( S = 4\pi R^2·L \), tenemos:
    \( \displaystyle E_R = \frac{B-A}{r}\quad ; \;con\quad E_R·4\pi R^2·L = \frac{\sigma}{\varepsilon_o}·4\pi R^2·L \Rightarrow \sigma = \frac{B-A}{R}·\varepsilon_o \)

Ningún otro tipo de distribución superficial sencillo se adaptaría al problema.
Si la distribución fuese lineal e infinita resultaría:
    \( \displaystyle \int_l \vec{E}·d\hat{l} = \int \frac{1}{\varepsilon_o}\lambda·dl \)

Consideramos una superficie cilíndrica solo habría flujo del campo por la cara lateral del cilindro y tendriamos:
    \( \displaystyle E·2\pi·r·L = \frac{\lambda·L}{\varepsilon_o} \Rightarrow E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_o}\Rightarrow \lambda=2\pi \varepsilon_o·A \)
Estos son los dos tipos posibles de distribución que originarían el campo dado.
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás