PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Se consideran tres esferas huecas A, B y C, concéntricas, cargadas respectivamente con cargas 2Q, -Q y Q. Los radios son:
(R ; 2R) para A ; (3R ; 4R) para B ; (5R ; 6R) para C.
Si pide:
    a) obtener el campo eléctrico en función de la distribución radial y la densidad superficial de carga en las superficies consideradas.
    b) Idem cuando se conecta la esfera A a tierra
    c) Idem cuándo se conecta la esfera B a tierra, partiendo de la situación (a).
    d)Idem cuándo se conecta la esfera C la tierra, partiendo de la situación (a)
Respuesta al ejercicio 54

Las respectivas densidades superficiales de carga en cada una de las superficies son:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \sigma_{A_1} = 0 \qquad ; \qquad \sigma_{A_2} = \frac{2Q}{4\pi·4R^2} \\
     \\
    \sigma_{B_1} = \frac{-2Q}{4\pi·9R^2} \qquad ; \qquad \sigma_{B_2} = \frac{Q}{4\pi·16R^2} \\
     \\
    \sigma_{C_1} = \frac{-Q}{4\pi·25R^2} \qquad ; \qquad \sigma_{C_2} = \frac{Q}{4\pi·36R^2}
    \end{array} \)

Dónde los valores para \( B_1\quad y\quad C_1 \) se justifican por introducirse cargas del valor señalado en dichas superficies.
El campo eléctrico los calculados aplicando el teorema de Gauss a una esfera de radio r variable. Así tendremos:
\( r<R \Rightarrow E=0 \), por no haber carga en el interior.
\( r<2R \Rightarrow E=0 \), por tratarse de un conductor
    \( \displaystyle 2R<r<3R\Rightarrow E·4\pi ·r^2 = \frac{2Q}{\varepsilon_o} \rightarrow E = \frac{2Q}{4\pi·\varepsilon_or^2} = \frac{Q}{2\pi·\varepsilon_or^2} \)

\( 3R<r<4R \Rightarrow E=0 \), por tratarse de un conductor
    \( \displaystyle 4R<r<5R \Rightarrow E·4\pi·r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_o} \rightarrow E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o r^2} \)

\( 5R<r<6R \Rightarrow E=0 \) por tratarse del interior de un conductor
    \( \displaystyle 6R<r \Rightarrow E·4\pi·r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_o} \rightarrow E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o r^2} \)

b) si conectamos la esfera A a tierra tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \sigma_{A_1} = 0 \qquad ; \qquad \sigma_{A_2} = 0 \\
     \\
    \sigma_{B_1} = 0 \qquad ; \qquad \sigma_{B_2} = \frac{-Q}{4\pi·16R^2} \\
     \\
    \sigma_{C_1} = \frac{Q}{4\pi·25R^2} \qquad ; \qquad \sigma_{C_2} = 0
    \end{array} \)

Y para el campo eléctrico tendremos:
\( E = 0 \quad en \quad r<R ; r<2R\quad ; \quad r<3R\quad , \), por no haber carga.
\( E = 0 \quad en \quad 3R<r<4R\quad , \), por tratarse del interior de un conductor.
    \( \displaystyle en \quad 4R<r<5R\Rightarrow E·4\pi r^2 = -\frac{Q}{\varepsilon_o}\Rightarrow E = - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o r^2} \)
\( \displaystyle E = - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o r^2} \) , por existir una carga inducida en r=5R

\( E = 0 \quad en \quad 3R<r<4R\quad , \) , por ser nula la carga neta interior.
Los casos (c) y (d) resuelve por un proceso análogo a los anteriores, teniendo en cuenta las cargas inducidas en las distintas superficies.
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás