PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de electricidad y magnetismos

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Ejercicios resueltos

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Hallar el potencial eléctrico en puntos situados sobre el eje de un disco de radio R, que contiene una carga \(\sigma\) por unidad de superficie.

Respuesta al ejercicio 39

Suponemos que el disco está dividido en coronas circulares de anchura dr. Cada una de estas bandas tendrá una carga dq y el potencial sobre un punto P del eje del disco valdrá:
    \( \displaystyle V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \limits_1^2 \frac{dq}{r'} = \frac{\sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int \limits_1^2 \frac{dS}{r'} \)
Y, por otro lado, teniendo en cuenta el esquema adjunto,

esquema de orientacion de fuerzas

tenemos:
    \( \displaystyle dS = 2 \pi ˇrˇdr \; ; \; r' = \sqrt{z^2 + r^2}\)
Con lo que sustituyendo nos queda:
    \( \displaystyle V = \frac{\sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int \limits_1^2 \frac{2 \pi ˇrˇdr}{\sqrt{z^2 + r^2}} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \int \limits_1^2 \frac{rˇdr}{\sqrt{z^2 + r^2}} \)
Y teniendo en cuenta que los límites de integración son 0 y R:
    \( \displaystyle V = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \int \limits_0^R \frac{rˇdr}{\sqrt{z^2 + r^2}} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left[\sqrt{z^2 + r^2}\right]_0^R = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - \sqrt{z^2}\right) \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
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Página publicada por: José Antonio Hervás