Ejercicios de electricidad y magnetismo

El haz de electrones de un tubo de televisión se acelera con un potencial V_a y se dirige hacia el eje de una región cilíndrica de radio R en la que existe un campo magnético de inducción B.
Teniendo en cuenta la figura, obtener la deflexión del haz sobre la pantalla en función del radio de la región magnética, R, la distancia del centro de simetría del cilindro a la pantalla, D, el potencial acelerador, V_a, la inducción magnética, B, la carga del electrón, e y su masa m.



Puede expresarse la relación funcional a través de variables intermedias.

Respuesta al ejercicio 31

Considerando que los electrones se mueven en una región magnética con una velocidad perpendicular a le inducción, Describirán una trayectoria circular, por estar sometidos a una fuerza de módulo:

\( F = B·e·v·\sin \alpha \)

y de sentido hacia abajo, según se deduce de la regla de la mano izquierda (considérese que los electrones tienen carga negativa).
Teniendo en cuenta la figura,



la desviación que sufren los electrones en la pantalla vale:

\( \displaystyle \tan \theta = \frac{y}{D} \Rightarrow y = D· \tan \theta \)

El valor D es conocido puesto que nos lo dan en el enunciado, no así el valor \( \tan \theta \) que debemos calcular.

Según se deduce de la figura, los ángulos O y O' son iguales por tener los lados perpendicuares , ya que la tangente a un punto de una circunferencia es normal al radio en dicho punto.
Por otro lado, se ve facilmente que se tiene \( \tan \theta /2 = R/r \) y, según una fórmula general do trigonometría :

\( \displaystyle \tan 2\alpha = \frac{2· \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \Rightarrow \tan \theta = \frac{2· \tan (\theta/2)}{1 - \tan^2 (\theta/2)} = \frac{2r·R}{r^2 - R^2} \)

Como no conocemos r vamos a calcularlo en función do los valores que nos han dado. Según hemos dicho anteriormente, la fuerza que actúa sobre los electrones en el campo magnético vale:

\( F = B·e·v·\sin \alpha = B·e·v \) puesto que \( \alpha = 90º \)

Por otro lado al ser la trayectoria circular esta fuerza estará equilibrada por la fuerza centrífuga y se tendrá:

\( \displaystyle F_m = F_c \Rightarrow B·e·v = \frac{v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{v}{B·e} \)

esta velocidad será la que traen los electrones al llegar al campo magnético y el módulo no varía por ser la aceleración normal a ella.
La velocidad vendrá dada en función del trabajo desarrollado al atravesar el electrón el campo eléctrico de potencial acelerador Va y se tendrá :

\( \displaystyle W = e·V_a = \frac{1}{2}·m·v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2·e·V_a}{m}} \)

sustituyendo el valor de la velocidad en la expresión anterior, tenemos :

\( \displaystyle r = \frac{\sqrt{2·e·V_a/m}}{B·e} \)

La deflexión del haz de electrones sobre la pantalla será, entonces :

\( \displaystyle y = D·\tan \theta = D·\left(\frac{2r·R}{r^2 - R^2}\right) = D·\frac{ \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2·e·V_a/m}}{B·e} \right)R}{ \displaystyle \left(\frac{2·e·V_a} {m·B^2e^2}\right) - R^2} = \)

\( \displaystyle 2D·\frac{R·B\sqrt{2V_a·m·e}}{2·V_a - R^2B^2·m·e}\)