Ejercicios de electricidad y magnetismo
Una esfera conductora de radio R
1 tiene una carga Q
1.
Se rodea de otra de radios R
2 y R’
2.
Calcular los potenciales de las dos esferas respecto del infinito
y los nuevos potenciales si la esfera exterior se une a tierra.
Calcular el trabajo del campo electrostático durante la
formación de la esfera hueca a partir de los dos emisferios
situados a gran distancia.
Respuesta al ejercicio 2
Recordamos el esquema del conjunto:
Para la esfera interior el potencial vale:
\( \displaystyle V_1 = \frac{1}{4·\pi·\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R_1}
- \frac{Q_1}{R_2} + \frac{Q_1}{R'_2}\right) \)
Para la esfera exterior, puesto que sólo actúa la
carga que tiene en su superficie exterior, tenemos:
\( \displaystyle V_2 = \frac{1}{4·\pi·\varepsilon_0} · \frac{Q_1}{R'_2}
\)
Cuando unimos la esfera exterior a tierra se hará nulo
el potencial que corresponde a R’
2 y tendremos:
\( \displaystyle V_1^{\; \prime} = \frac{1}{4·\pi·\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R_1}
- \frac{Q_1}{R_2} + \right) \quad ; \quad V_2^{\; \prime} =
0 \)
En general, el trabajo del campo electrostático vale:
\( \displaystyle W = \frac{1}{2}·Q·V \)
Por consiguiente, en nuestro caso, el trabajo que hemos de desarrollar
será:
\( \displaystyle W = \frac{1}{2}·Q_1 \Big(V_1 - V_2 \Big) =
\frac{Q_1}{8·\pi·\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R_1} - \frac{Q_1}{R_2}
+ \frac{Q_1}{R'_2}\right) - \)
\( \displaystyle - \frac{Q_1}{8·\pi·\varepsilon_0}·\frac{Q_1}{R'_2}
= \frac{Q_1}{8·\pi·\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R_1} - \frac{Q_1}{R_2}
\right) \)