Ejercicios de ecuaciones diferenciales
Resolver la ecuación diferencial:
\( \displaystyle y· y^{\prime \prime} + (y^\prime)^2 = \frac{y·y'}{1+x} \)
Respuesta al ejercicio 25
Dividiendo todos los términos por \(y·y^\prime \) la ecuación
toma la forma:
\( \displaystyle \frac{y^{\prime \prime}}{y^\prime} - \frac{y^\prime}{y}
= \frac{1}{1+x} \)
Que es una ecuación homogénea en y, y' e y'' para
la que podemos hacer el cambio y'/y = u. De ese modo
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{y^\prime}{y} = u \Rightarrow y' = u·y \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow y^{\prime \prime} = u·y' + u'·y = u^2·y + u'·y \Rightarrow \frac{y^{\prime \prime}}{y'} = \frac{u' + u^2}{u}
\end{array} \)
Y la ecuación queda en la forma
\( \displaystyle \frac{u' + u^2}{u} - u = \frac{1}{1+x} \quad
; \quad u' + u^2 - u^2 = u' = \frac{u}{1+x} \)
Separando variables e integrando obtenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{1+x} + K \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \ln u = \ln (1+x) + \ln C_1 \Rightarrow u = C_1(1+x)
\end{array} \)
Y deshaciendo el cambio:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{y'}{y} = C_1(1+x) \; ; \; \int \frac{dy}{y} = \int C_1(1+x)dx + C_2 \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \ln y = C_1 \left(1 + \frac{x^2}{2}\right) + \ln K
\end{array}\)
Con lo que finalmente resulta:
\( \displaystyle y = K· \exp \left[C_1 \left(1 + \frac{x^2}{2}\right)\right]
\)