Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Calcular la intensidad que circula por el circuito esquematizado en la figura adjunta con la condición I = 0, para t = 0 y suponiendo que la fuerza electromotriz es constante.

Respuesta al ejercicio 21

Puesto que tenemos un circuito con resistencia y autoinducción , su ecuación diferencial será de la forma: \( \displaystyle R·I + L·\frac{dI}{dt} = E(t) \)
Tenemos una ecuación diferencial que no es diferencial exacta, por lo que para resolverla hemos de obtener previamente el factor integrante:

\( \displaystyle \mu(t) = \frac{1}{P_0}·\exp \int \frac{P_1}{P_0}·dt = \frac{1}{L}·\exp \int \frac{R}{L}·dt = \frac{1}{L}·e^{Rt/L} \)

A partir de ahí podemos obtener la solución general mediante:

\(\displaystyle\begin{array}{l}
I(t) = \frac{1}{\mu P_0}·\exp \int \mu·R(t)·dt + \frac{C}{\mu P_0} = \\
 \\
= e^{-Rt/L} \int \frac{1}{L}· e^{Rt/L}·E(t)dt + C·e^{-Rt/L}
\end{array} \)

Si E(t) es constante, la ecuación se integra fácilmente, ya que se tiene:

\( \displaystyle I(t) = \frac{E}{R}e^{-Rt/L} \int \frac{R}{L} e^{Rt/L}dt + Ce^{-Rt/L} = \frac{E}{R} + Ce^{-Rt/L} \)

Y siendo I = 0 para t = 0

\( \displaystyle 0 = \frac{E}{R} + C \quad \Rightarrow \quad C = - \frac{E}{R} \quad \Rightarrow \quad I(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-Rt/L} \right)\)