Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas \( y = a·x^2 \)

Respuesta al ejercicio 19


En primer lugar planteamos la ecuación diferencial del haz de parábolas:

\( \displaystyle y = a·x^2 \; ; \; y' = 2a·x = 2 \left(\frac{y}{x^2}\right)·x \Rightarrow x·y' - 2y = 0 \)

Las pendientes de las curvas ortogonales a las parábolas consideradas son perpendiculares a las de estas parábolas; por consiguiente, tendremos:

\( \displaystyle Y' = - \frac{1}{y'} \Rightarrow Y' = - \frac{x}{2y} \Rightarrow 2y·dy + x·dx = 0 \Rightarrow y^2 + \frac{x^2}{2} = C \)

Y esa es la ecuación pedida.
El problema es un caso particular del de encontrar la ecuación de las curvas que corten con ángulo cualquiera, w, a un haz cuya ecuación se da.
El problema en este caso se resuelve como sigue. Siendo C una curva representativa de la familia dada, en el punto P se tendrá:

\( y' = \tan \theta \)

Análogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ángulo w, en el mismo punto P se verificará la ecuación:

\( y' = \tan \phi \)

Pero entre los ángulos implicados se tienen las siguientes relaciones:

\(\displaystyle \theta + \omega = \phi \; ; \; \tan \theta = \tan (\phi - \omega) = \frac{\tan \phi - \tan \omega}{1 + \tan \phi · \tan \omega} \)

Con lo que finalmente podemos escribir:

\( \displaystyle y' = \frac{Y^{\; \prime} - \tan \omega}{1 + Y^{\; \prime}· \tan \omega}\)