Ejercicios de análisis matemático

Calcular el límite de la expresión:

\( \displaystyle \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} \)

sabiendo que se tiene \( \; a, b > 0\)

Respuesta al ejercicio 51

En general, el límite se calcula como sigue:

\( \displaystyle \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} = \frac{1 - \frac{b^n}{a^n}}{1 + \frac{b^n}{a^n}} = \frac{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n}{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^n} \)

Se tienen tres casos, que pasamos a considerar:

1º) b<a:

\( \displaystyle b<a \Rightarrow \frac{b}{a}< 1 \Rightarrow \lim\quad U_n = \frac{1- 0}{1+ 0} = 0\)

2 º) b=a:

\( \displaystyle b=a \Rightarrow \frac{b}{a}= 1 \Rightarrow \lim\quad U_n = \frac{1- 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0\)

En la tercera ocasión tenemos:

\( \displaystyle b>a \Rightarrow \frac{a}{b}< 1 \)

Dividiendo la expresión general por bⁿ, tenemos:

\( \displaystyle \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} = \frac{ \frac{a^n}{b^n}- 1}{\frac{a^n}{b^n} + 1} = \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^n- 1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n + 1}= \frac{0 - 1}{0 + 1}= -1
\)