PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Analizar la convergencia de la serie.
    \( \displaystyle \sum \frac{1}{2} ˇ \frac{1ˇ3ˇ5 \cdots (2n-1)}{4ˇ6ˇ8 \cdots (2n+2)}\)
Respuesta al ejercicio 42

Analizamos el caracter de la serie dada, aplicando el criterio de D'Alambert (criterio del cociente) . Tenemos:
    \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle \frac{1}{2} ˇ \frac{1ˇ3ˇ5 \cdots (2n-1)[2(n+1)-1]}{4ˇ6ˇ8 \cdots (2n+2)[2(n+1)+2]}}{\displaystyle \frac{1}{2} ˇ \frac{1ˇ3ˇ5 \cdots (2n-1)}{4ˇ6ˇ8 \cdots (2n+2)}} = \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)+2}\)
Con lo que, finalmente, llevando al límite:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)+2}} = 1\)
Y en este caso, al ser el límite 1, no se puede determinar el caracter de la serie.

Aplicamos el criterio de Raabe, para el que se tiene que cumplir lo dicho en el ejercicio 41.Hacemos:
    \( \displaystyle n \left[1 - \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)+2}\right] = n \left[1 - \frac{2n+1}{2n+4}\right] = n \left[\frac{2n+4 - (2n+1)}{2n+4}\right] = \frac{3n}{2n+4}\)
Y, a partir de ahí:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right)} = \frac{3}{2}> 1\)
Y la serie es convergente.
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Página publicada por: José Antonio Hervás