Ejercicios de análisis matemático
Demostrar que cualesquiera que sean φ y ψ (funciones diferenciales
dos veces), la función definida en la forma:
\( h = \varphi(x-\alpha t) + \psi(x + \alpha t) \)
Verifica la relación:
\( \displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = a^2\frac{\partial^2
h}{\partial x^2} \)
Respuesta al ejercicio 19
Vamos a considerar que se tiene:
\( x-a·t = v \quad ; \quad x+a·t = u \)
con lo que podemos poner:
\( h = \varphi(x-a·t) + \psi(x+a·t) = \varphi(v) + \psi(u) \)
Derivando como función de función tenemos:
\( \displaystyle \frac{\partial h}{\partial t} = \varphi^\prime(v)·v'_t
+ \psi^\prime(u)·u'_t = \varphi^\prime(v)·(-a) + \psi^\prime(u)·a
\)
\(\displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = -a· \varphi^{\prime
\prime}(v)·v'_t + a·\psi^{\prime \prime}(u)·u'_t = a^2 [\varphi^{\prime
\prime}(v) + \psi^{\prime \prime}(u)] \)
Y derivando respecto de x, tenemos:
\( \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x} = \varphi^\prime(v)·v'_x
+ \psi^\prime(u)·u'_x = \varphi^\prime(v) + \psi^\prime(u) \)
\(\displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = \varphi^{\prime
\prime}(v)·v'_x + \psi^{\prime \prime}(u)·u'_x = \varphi^{\prime
\prime}(v) + \psi^{\prime \prime}(u) \)
Si multiplicamos esta última expresión por a²,
obtenemos
\( \displaystyle a^2 ·\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = a^2
[\varphi^{\prime \prime}(v) + \psi^{\prime \prime}(u)] = \frac{\partial^2
h}{\partial t^2} \)
Que es la relación a la que queríamos llegar.