Ejercicios de análisis matemático

Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones :

\( \displaystyle \begin{array}{llllll} a) & u = \frac{1}{\sqrt{x^+y^2}} & b) & u = \frac{x·y}{x+y} \qquad \qquad \quad c) \; u = \frac{x+y}{x^3 + y^3} \end{array} \)

\( \displaystyle \begin{array}{llllll} d) & u = \sin\left(\frac{1}{x·y}\right) & e) & u = \frac{1}{\sin x · \sin y} \; \; f) \; u = \ln (1-x^2-y^2) \end{array} \)

\( \displaystyle \begin{array}{llllll} g) & u = \frac{1}{x·y·z} & h) & u= \ln \left[\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2+(z-c)^2}}\right] \end{array} \)

Respuesta al ejercicio 9

La función a) será discontinua cuando se anule el denominador, es decir en el punto (x, y) = (0, 0).

La función b) será discontinua en la recta x+y = 0.

La función c) será discontinua cuando se anule el denominador y esto ocurre en todos los puntos de la recta x + y = 0, puesto que se tiene :

\( x^3 + y^3 = 0 \; \Rightarrow \; x^3 = - y^3 \; \Rightarrow \; x = -y \; \Rightarrow \; x + y = 0 \)

La función d) es discontinua cuando se anula alguna de las dos variables, es decir, sobre los
ejes de coordenadas.

LA función e) será discontinua en los puntos :

\( \left.\begin{array}{c}
x = m·\pi \\
\\
y = n·\pi
\end{array}\right\} \quad m, n = 0, \mp 1, ··· \)

La función f) será discontinua cuando se tenga un valor nulo o negativo, es decir :

\( 1-x^2-y^2 \leq 0 \; \Rightarrow \; x^2 + y^2 - 1\geq 0 \)

por lo tanto, vemos que es discontinua en los puntos externos, incluyendo la frontera, de una
circunferencia de radio 1 y centro (0, 0).

La función g) es discontinua en todos los puntos en los que se anula alguna de las tres
variables.

La función h) es discontinua en el punto (a, b, c).