Ejercicios de análisis matemático

Sean {u_n} y {v_n} sucesiones en R y \(\sum a_n\) una serie convergente de términos positivos. Si es :

\( \displaystyle L(u) = \sum _n a_n · \frac{|u_n|}{1 + |u_n|} \quad ; \quad L(v) = \sum _n a_n · \frac{|v_n|}{1 + |v_n|} \)

Probar que se verifica :

L(u + v) ≤ L(u) + L(v)

Respuesta al ejercicio 7

Hemos visto en otro problema que para dos números reales positivos se cumple :

\( \displaystyle \frac{a+b}{1+a+b} \leq \frac{a}{1+a}+ \frac{b}{1+b} \)

Según eso tenemos :

\( \displaystyle \frac{|u_n + v_n|}{1+|u_n + v_n|} \leq \frac{|u_n|}{1+|u_n|}+ \frac{|v_n|}{1+|v_n|} \)

y multiplicando todos los términos de la desigualdad por \( \displaystyle \sum_n a_n\) nos queda :

\( \displaystyle \begin{array}{l} \sum_n a_n \frac{|u_n + v_n|}{1+|u_n + v_n|} \leq \sum_n a_n \frac{|u_n|}{1+|u_n|}+ \sum_n a_n \frac{|v_n|}{1+|v_n|} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow L(u+v) \leq L(u) + L(v) \end{array}\)