Ejercicios de estructuras algebraicas

Dado un anillo (A, +, •) y los ideales B y C demostrar que el subconjunto de elementos de A de la forma:

\( I = \{x = b+c \quad | \quad b \in B \wedge c \in C \} \)

Es un ideal

Respuesta al ejercicio 16

Se dice que un subanillo de un anillo A es un ideal si cumple:

\(\forall x, y \in I \; : ; (x-y) \in I \quad ; \quad \forall x \in I \wedge \forall a \in A \Rightarrow x·a \in I \wedge a·x \in I \)

Podemos hacer entonces:

\(x,y \in I \quad \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}
x = b_1+c_1 \\
\\
y = b_2+c_2
\end{array}\right\} \quad (x-y) = (b_1+c_1) - (b_2+c_2)
\)

Pero, por ser la primera de las leyes de un anillo conmutativa:

\( (b_1+c_1) - (b_2+c_2) = (b_1-b_2)+(c_1-c_2) \in I \Rightarrow (x-y) \in I \)

Puesto que \((b_1 - b_2) \in B \textrm{ y } (c_1 - c_2) \in C \).
Por otro lado tenemos:

\( x \in I \quad \Rightarrow \quad x = b+e \quad \Rightarrow \quad a·x = a(b+c) \)

Por ser distributiva la segunda ley:

\( a(b+c) = (a·b + a·c) \in I \quad (a·b \in B \; \wedge \; a·c \in C) \; \Rightarrow \; a·x \in I \)

De igual modo se demuestra que \(x·a \in I \) y, por consiguiente que I es un ideal.