Ejercicios de estructuras algebraicas

Demostrar que toda parte finita {a₁, a₂, ..., a_n} de un retículo T tiene un extremo superior y un extremo inferior dados por

\( \displaystyle \begin{array}{l} Sup_T\{a_1, a_2, ···, a_n\} = \bigvee_{j=1}^n a_j \quad ;\\  \\ \quad Inf_T\{a_1, a_2, ···, a_n\} = \bigwedge_{j=1}^n a_j \end{array} \)

Respuesta al ejercicio 4

Consideraremos únicamente el extremo inferior. Para todo elemento a_k del conjunto finito {a₁, a₂, ..., a_n} podemos hacer :

\( \displaystyle \left( \bigwedge_{j=1}^n a_j \right) \bigwedge a_k = \left[\left(\bigwedge_{j=1}^{k-1} a_j \right)\bigwedge a_k \left(\bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right)\right] \bigwedge a_k \)

y aplicando los axiomas de conmutatividad y asociatividad y uno de los teoremas básicos del álgebra de retículos :

\(\displaystyle\begin{array}{l} \left( \bigwedge_{j=1}^{k-1} a_j \right) \bigwedge a_k \bigwedge a_k \left( \bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right) = \\  \\ = \left( \bigwedge_{j=1}^{k-1} a_j \right) \bigwedge a_k \left( \bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right) = \\  \\ = \left( \bigwedge_{j=1}^k a_j \right)\left( \bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right) = \bigwedge_{j=1}^n a_j \end{array}\)

Por lo que, finalmente, nos quedará :

\(\displaystyle \bigwedge_{j=1}^n a_j \leq a_j \qquad , \forall a_j \in \{a_1, a_2, ···, a_n \} \)