PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Sea A un anillo con un número finito de elementos; si A tiene elemento unidad \(e\), demostrar que todo elemento no divisor de cero es inversible.

Respuesta al ejercicio 60

Definimos la aplicación:

    \(f : A \rightarrow A \;;\; f(x) = a·x \)

siendo \(a'\) fijo.

Dicha aplicación es isomorfismo, pues se tiene:

    \( \begin{array}{l}
    f(x) = f(y) \Rightarrow a·x = a·y \Rightarrow \textrm{(no divisor) } x = y
    \\
    \\
    card(imf) = Card(E) \Rightarrow Imf = E \textrm{ por ser }E \textrm{ finito}
    \end{array} \)
Por tanto al ser la aplicación definida isomorfismo existirá un \(a'\) que cumplirá:
    \( f(a') = e \Rightarrow a·a' = e \Rightarrow a'\)

es simétrico de A por la izquierda

Por la derecha se demuestra de igual forma.

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tema escrito por: José Antonio Hervás