PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Demostrar que el conjunto D de las matrices diagonales de orden n es un subanillo del anillo A de las matrices cuadradas del mismo orden n. Con la suma y producto de matrices como primera y segunda ley.

Determinar si dicho subanillo es conmutativo y tiene divisores de cero.

Respuesta al ejercicio 59

Vamos ver si el conjunto es grupo para la suma:
    \(\begin{array}{l}
    \left(
    \begin{array}{ccccc}
    a & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & a & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & a & \cdots & 0 \\
    \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
    0 & 0 & 0 & \cdots &a \\
    \end{array}
    \right) - \left(
    \begin{array}{ccccc}
    b & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & b & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & b & \cdots & 0 \\
    \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
    0 & 0 & 0 & \cdots &b \\
    \end{array}
    \right) = \\
     \\
    = \left(
    \begin{array}{ccccc}
    a-b & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\
    \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
    0 & 0 & 0 & \cdots &a-b \\
    \end{array}
    \right) \in D
    \end{array}
    \)

Por lo tanto, si es grupo para la suma.

Veamos si es semigrupo para el producto:

    \(\begin{array}{l}
    \left(
    \begin{array}{ccccc}
    a & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & a & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & a & \cdots & 0 \\
    \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
    0 & 0 & 0 & \cdots &a \\
    \end{array}
    \right) · \left(
    \begin{array}{ccccc}
    b & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & b & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & b & \cdots & 0 \\
    \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
    0 & 0 & 0 & \cdots &b \\
    \end{array}
    \right) = \\
     \\
    = \left(
    \begin{array}{ccccc}
    a·b & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & a·b & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & a·b & \cdots & 0 \\
    \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
    0 & 0 & 0 & \cdots &a·b \\
    \end{array}
    \right) \in D
    \end{array}
    \)

El conjunto si es semigrupo para el producto, y por lo tanto D es es subamillo para la suma y producto de matrices

El conjunto D cumple la propiedad conmutativa para el producto, pues la matriz resultante de multiplicar B por A es diagonal con los elementos en la forma \(b·a\) y como el producto de números es conmutativo, se cumple \(A·B = B·A\).

El anillo no tiene divisores de 0 pues tendría que ser \(a·b =0\) con \(a \textrm{ y } b \) distintos de 0, cosa que no ocurre en el anillo Z.

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tema escrito por: José Antonio Hervás